Punkty \(\displaystyle{ A=(1,-11)}\) i \(\displaystyle{ B=(10,2)}\) są wierzchołkami rombu ABCD. Prosta k o równaniu \(\displaystyle{ x+7y-24=0}\) zawiera jedną z przekątnych tego rombu.
a) którą przekątną zawiera prosta k?
b) znajdź równanie prostej zawierającej drugą przekątną rombu
c) oblicz pole rombu
-- 27 marca 2009, 20:11 --
może chociaż jakaś mala podpowiedź?
przekątne i pole rombu
przekątne i pole rombu
Ostatnio zmieniony 29 mar 2009, o 10:12 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Jeden wyraz na nazwę tematu to zdecydowanie za mało. Staraj się lepiej dobierać nazwy tematów, tak by lepiej wskazywały o czym może być treść zadania.
Powód: Jeden wyraz na nazwę tematu to zdecydowanie za mało. Staraj się lepiej dobierać nazwy tematów, tak by lepiej wskazywały o czym może być treść zadania.
przekątne i pole rombu
%lunia3 pisze:Punkty \(\displaystyle{ A=(1,-11)}\) i \(\displaystyle{ B=(10,2)}\) są wierzchołkami rombu ABCD. Prosta k o równaniu \(\displaystyle{ x+7y-24=0}\) zawiera jedną z przekątnych tego rombu.
a) którą przekątną zawiera prosta k?
b) znajdź równanie prostej zawierającej drugą przekątną rombu
c) oblicz pole rombu
-- 27 marca 2009, 20:11 --
może chociaż jakaś mala podpowiedź?
\(\displaystyle{ Ad.a) \ Prosta \ k \ " \ zawiera \ " \ przekatna \ DB \ .}\)
\(\displaystyle{ Zrob \ rysunek \ . \ Po \ wykonaniu \ tej \ operacji \ powinnas \ Samodzielnie \ dojsc \ do \ takiego \ wniosku \ .}\)
\(\displaystyle{ Ad.b) \ Prosta \ : \ k \ ; \ jest \ sformulowana \ : \ x \ + \ 7y \ - \ 24 \ = \ 0}\)
\(\displaystyle{ Po \ przeksztalceniu \ jej \ z \ " \ postaci \ " \ ogolnej \ " \ do \ "postaci \ " \ kierunkowej \ otrzymujemy \ :}\)
\(\displaystyle{ y \ = \ -\frac{1}{7} x \ + \ \frac{24}{7}}\)
\(\displaystyle{ Prosta \ " \ zawierajaca \ " \ druga \ przekatna \ musi \ byc \ prostopadla \ do \ prostej \ k .}\)
\(\displaystyle{ Powyzsze \ pytanie \ naukowym \ nie \ jest \ jednak \ w \ drodze \ wyjatku \ udzielimy \ na \ nie}\)\(\displaystyle{ Dlaczego \ ?}\)
\(\displaystyle{ jakze \ edukujacej \ odpowiedzi \ :}\)
\(\displaystyle{ Prosta \ " \ zawierajaca \ " \ rownanie \ drugiej \ przekatnej \ jest \ prostopadla \ do \ prostej \ : \ k \ ;}\)
\(\displaystyle{ poniewaz \ przekatne \ w \ rombie \ przecinaja \ sie \ i \ polowia \ sie \ pod \ katem \ prostym \ .}\)
\(\displaystyle{ korzystajac \ z \ WARUNKU \ PROSTOPADLOSCI \ DWOCH \ PROSTYCH \ :}\)
\(\displaystyle{ \left( wspolczynnik \ kierunkowy \ _ {1} \right) \cdot \left( wspolczynnik \ kierunkowy \ _{2} \right) \ = \ -1}\)
\(\displaystyle{ wyprowadzamy \ rownanie \ prostej \ l \ : \ l \ \perp \ k \ :}\)
\(\displaystyle{ l \ : \ y \ = \ 7x \ + \ b}\)
\(\displaystyle{ Poniewaz \ punkt \ : \ A \left( 1 \ ; \ -11 \right) \ ; nalezy \ do \ wykresu \ prostej \ l \ wiec \ spelnia \ jej \ rownanie \ :}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} A \left( 1 \ ; \ -11 \right) \\ y \ = \ 7x \ + \ b \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\)
\(\displaystyle{ -11 \ = \ 7 \ + \ b}\)
\(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\)
\(\displaystyle{ b \ = \ -18}\)
\(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\)
\(\displaystyle{ l \ : \ y \ = \ 7x \ - \ 18}\)
\(\displaystyle{ Ad.c) \ W \ celu \ wyznaczenia \ powierzchni \ badanego \ rombu \ wyznacze \ jego \ pozostale \ wierzcholki \ .}\)
\(\displaystyle{ Wyznaczam \ punkt \ przeciecia \ sie \ prostych \ : \ l \ i \ k \ ;}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x \ + \ 7y \ = \ 24 \\ -7x \ + \ y \ = \ -18 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ W \ = \ \begin{vmatrix} 1&7\\-7&1 \end{vmatrix} \ = \ 50}\)
\(\displaystyle{ W_{x} \ = \ \begin{vmatrix} 24&7\\-18&1 \end{vmatrix} \ = \ 150}\)
\(\displaystyle{ W_{y} \ = \ \begin{vmatrix} 1&24\\-7&-18 \end{vmatrix} \ = \ 150}\)
\(\displaystyle{ x \ = \ \frac{W_{x}}{W} \ = \ 3}\)
\(\displaystyle{ y \ = \ \frac {W_{y}}{W} \ = \ 3}\)
\(\displaystyle{ Punkt \ : \ P \ ; \ bedacy \ miejscem \ przeciecia \ prostych \ : \ k \ , \ l \ ; \ " \ posiada \ " \ wspolrzedne \ : x \ = \ 3 \ ; \ y \ = \ 3 \ ; \ czyli \ P \left( 3 \ ; \ 3 \right)}\)
\(\displaystyle{ Zauwaz \ ze \ wektory \ : \ \vec{AP} \ ; \ \vec {PC} \ ; \ i \ : \ \vec{BP} \ ; \ \vec{PD} \ ; \ sa \ sobie \ rowne \ .}\)
\(\displaystyle{ \vec{AP} \left[ 3 \ - \ 1 \ ; \ 3 \ + \ 11 \right] \ = \ \vec{PC} \left[ x_{C} \ - \ 3 \ ; \ y_{C} \ - \ 3 \right]}\)
\(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\)
\(\displaystyle{ 2 \ = \ x_{C} \ - \ 3}\)
\(\displaystyle{ 14 \ = \ y_{C} \ - \ 3}\)
\(\displaystyle{ x_{C} \ = \ 5}\)
\(\displaystyle{ y_{C} \ = \ 17}\)
\(\displaystyle{ C \left( 5 \ ; \ 17 \right)}\)
\(\displaystyle{ \vec{BP} \ = \ \vec{PD}}\)
\(\displaystyle{ \vec{BP} \left[ 3 \ - \ 10 \ ; \ 3 \ - \ 2 \right] \ = \ \vec{PD} \left[ x_{D} \ - \ 3 \ ; \ y_{D} \ - \ 3 \right]}\)
\(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\)
\(\displaystyle{ -7 \ = \ x_{D} \ - \ 3}\)
\(\displaystyle{ 1 \ = \ y_{D} \ - \ 3}\)
\(\displaystyle{ x_{D} \ = \ -4}\)
\(\displaystyle{ y_{D} \ = \ 4}\)
\(\displaystyle{ D \left( -4 \ ; \ 4 \right)}\)
\(\displaystyle{ Powierzchnie \ badanego \ rombu \ mozemy \ policzyc \ korzystajac \ ze \ wzoru \ :}\)
\(\displaystyle{ S_{ABCD} \ = \ \frac {1}{2} \left[ | \ \begin{vmatrix} x_{D}&y_{D}&1\\x_{A}&y_{A}&1\\x_{B}&y_{B}&1\end{vmatrix} \ | \ + \ | \ \begin{vmatrix} x_{D}&y_{D}&1\\x_{B}&y_{B}&1\\x_{C}&y_{C}&1\end{vmatrix} \ | \right] \ = \ \frac{1}{2} \left[ | \ \begin{vmatrix} -4&4&1\\1&-11&1\\10&2&1\end{vmatrix} \ | \ + \ | \ \begin{vmatrix} -4&4&1\\10&2&1\\5&17&1\end{vmatrix} \ | \right] \ = \ \frac{1}{2} \left[ |200| \ + \ |200| \right] \ = \ \frac{400}{2} \ = \ 200}\)
\(\displaystyle{ lub \ ze \ wzoru \ :}\)
\(\displaystyle{ S_{ABCD} \ = \ | \ \begin{vmatrix} x_{D}&y_{D}&1\\x_{A} &y_{A}&1\\x_{C}&y_{C}&1\end{vmatrix} \ | \ = \ | \ \begin{vmatrix} -4&4&1\\1 &-11&1\\5&17&1\end{vmatrix} \ | \ = \ 200}\)
\(\displaystyle{ Lub \ wyznaczyc \ dlugosci \ przekatnych \ i \ skorzystac \ ze \ wzoru \ :}\)
\(\displaystyle{ S_{ABCD} \ = \ \frac {1}{2} \left[ |\vec{AC}| \cdot |\vec {DB}| \right]}\)
\(\displaystyle{ Lub \ obliczyc \ sinus \ kata \ pomiedzy \ odcinkami \ : |\vec{AD}| \ , \ |\vec{AB}| \ ; \ lub : \ |\vec{BA} \ , \ |\vec{BC}|}\)
\(\displaystyle{ korzystajac \ ze \ wzoru \ :}\)
\(\displaystyle{ sin \left( |\vec{BA}| \ |\vec{BC}|\right) \ = \ \frac {\begin{vmatrix} x_{A} \ - \ x_{B}&y_{A} \ - \ y_{B} \\x_{C} \ - \ x_{B}&y_{C} \ - \ y_{B} \end{vmatrix}}{|\vec{BA}| \cdot |\vec{BC}|}}\)
\(\displaystyle{ I \ wyznaczyc \ powierzchnie \ rombu \ ABCD \ ze \ wzoru \ :}\)
\(\displaystyle{ S_{ADBC} \ = \ |\vec{BA}| \cdot \ |\vec{BC}| \cdot \ sin\left( |\vec{BA}| \ |\vec{BC}|\right) \ = \ |\vec{BA}| \cdot \ |\vec{BC}| \cdot \frac {\begin{vmatrix} x_{A} \ - \ x_{B}&y_{A} \ - \ y_{B} \\x_{C} \ - \ x_{B}&y_{C} \ - \ y_{B} \end{vmatrix}}{|\vec{BA}| \cdot |\vec{BC}|}}\)
\(\displaystyle{ Lub \ , \ lub \ , \ lub \ , \ ... \ Rob \ jak \ uwazasz \ za \ sluszne \ .}\)