Znajdź zbiór środków cięciw okręgu x^2 +y^2 +4*y +3=0, wyznaczone przez proste przechodzące przez punkt P=(0,1)
prosze o pomoc, wiem,że to bedize łuk okręgu tylko nie wiem za bardzo ak to wyjasnic?
Równanie środków cięciw okręgu
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Równanie środków cięciw okręgu
Równanie kanoniczne okręgu: \(\displaystyle{ x^{2}+(y+2)^{2}=1}\)
Równanie prostych przechodzących przez punkt \(\displaystyle{ (0,1)}\): \(\displaystyle{ y=ax+1}\).
Znajdujesz punkty wspólne okręgu i prostej (w tym celu wstawiasz y z równania prostej do równania okręgu i rozwiązujesz otrzymane równanie kwadratowe). Powinieneś dostać:
\(\displaystyle{ A=\left(\frac{-\sqrt{a^{2}-8}-3a}{a^{2}+1},\frac{-a\sqrt{a^{2}-8}-2a^{2}+1}{a^{2}+1}\right)}\)
\(\displaystyle{ B=\left(\frac{\sqrt{a^{2}-8}-3a}{a^{2}+1},\frac{a\sqrt{a^{2}-8}-2a^{2}+1}{a^{2}+1}\right)}\)
Oczywiście, dla \(\displaystyle{ a^{2}-8=0}\), czyli \(\displaystyle{ a= \pm 2\sqrt{2}}\) prosta staje się styczną.
Znajdujesz środek cięciwy AB ze wzoru na współrzędne środka odcinka:
\(\displaystyle{ S_{AB}=\left( -\frac{6a}{2(a^{2}+1)} , \frac{-4a^{2}+2}{2(a^{2}+1)}\right )}\)
Szukany zbiór to zatem krzywa opisana parametrycznie:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x= -\frac{6a}{2(a^{2}+1)}\\ y=\frac{-4a^{2}+2}{2(a^{2}+1)} \end{cases}}\)
po przekształceniu otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x= -\frac{3a}{a^{2}+1}\\ y=\frac{3}{a^{2}+1}-2 \end{cases}}\)
Musisz teraz przekształcić równanie parametryczne do postaci ogólnej. Otóż:
\(\displaystyle{ y+2=\frac{3}{a^{2}+1}}\)
\(\displaystyle{ x^{2}+(y+2)^{2}=\frac{9}{a^{2}+1}}\)
\(\displaystyle{ 3(y+2)=\frac{9}{a^{2}+1}}\)
\(\displaystyle{ x^{2}+(y+2)^{2}=3(y+2)}\)
\(\displaystyle{ x^{2}+\left(y+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}}\)
Rozwiązaniem jest zatem łuk okręgu \(\displaystyle{ x^{2}+\left(y+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}}\); końce tego łuku możesz znaleźć, wstawiając do równania parametrycznego \(\displaystyle{ a= \pm 2\sqrt{2}}\).
Równanie prostych przechodzących przez punkt \(\displaystyle{ (0,1)}\): \(\displaystyle{ y=ax+1}\).
Znajdujesz punkty wspólne okręgu i prostej (w tym celu wstawiasz y z równania prostej do równania okręgu i rozwiązujesz otrzymane równanie kwadratowe). Powinieneś dostać:
\(\displaystyle{ A=\left(\frac{-\sqrt{a^{2}-8}-3a}{a^{2}+1},\frac{-a\sqrt{a^{2}-8}-2a^{2}+1}{a^{2}+1}\right)}\)
\(\displaystyle{ B=\left(\frac{\sqrt{a^{2}-8}-3a}{a^{2}+1},\frac{a\sqrt{a^{2}-8}-2a^{2}+1}{a^{2}+1}\right)}\)
Oczywiście, dla \(\displaystyle{ a^{2}-8=0}\), czyli \(\displaystyle{ a= \pm 2\sqrt{2}}\) prosta staje się styczną.
Znajdujesz środek cięciwy AB ze wzoru na współrzędne środka odcinka:
\(\displaystyle{ S_{AB}=\left( -\frac{6a}{2(a^{2}+1)} , \frac{-4a^{2}+2}{2(a^{2}+1)}\right )}\)
Szukany zbiór to zatem krzywa opisana parametrycznie:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x= -\frac{6a}{2(a^{2}+1)}\\ y=\frac{-4a^{2}+2}{2(a^{2}+1)} \end{cases}}\)
po przekształceniu otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x= -\frac{3a}{a^{2}+1}\\ y=\frac{3}{a^{2}+1}-2 \end{cases}}\)
Musisz teraz przekształcić równanie parametryczne do postaci ogólnej. Otóż:
\(\displaystyle{ y+2=\frac{3}{a^{2}+1}}\)
\(\displaystyle{ x^{2}+(y+2)^{2}=\frac{9}{a^{2}+1}}\)
\(\displaystyle{ 3(y+2)=\frac{9}{a^{2}+1}}\)
\(\displaystyle{ x^{2}+(y+2)^{2}=3(y+2)}\)
\(\displaystyle{ x^{2}+\left(y+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}}\)
Rozwiązaniem jest zatem łuk okręgu \(\displaystyle{ x^{2}+\left(y+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}}\); końce tego łuku możesz znaleźć, wstawiając do równania parametrycznego \(\displaystyle{ a= \pm 2\sqrt{2}}\).
-
witek1
- Użytkownik
- Posty: 57
- Rejestracja: 10 maja 2007, o 16:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Krasnystaw
- Podziękował: 10 razy
Równanie środków cięciw okręgu
mogłbys tylko mi powiedzieć jak wygląda to równaie parametryczne ogólne dla krzywej?
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Równanie środków cięciw okręgu
Równanie ogólne to równanie w postaci relacji między x i y, np. \(\displaystyle{ y=2-x}\) albo \(\displaystyle{ log(xy)=1}\)
Równanie parametryczne to równanie, w którym poszczególne współrzędne są funkcjami jakiegoś parametru t, np.
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=t^{2} \\ y=\frac{1}{t} \end{cases}}\);
podstawiając do takiego równania wszystkie możliwe wartości t z określonego zakresu (zwykle t obiega zbiór liczb rzeczywistych), otrzymujesz wszystkie punkty krzywej.
Kiedy chcesz przekształcić równanie parametryczne do równania w postaci ogólnej, musisz dokonać takich przekształceń i podstawień, żeby wyrugować t - znaleźć wzór, w którym występują tylko zmienne x i y.
Równanie parametryczne to równanie, w którym poszczególne współrzędne są funkcjami jakiegoś parametru t, np.
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=t^{2} \\ y=\frac{1}{t} \end{cases}}\);
podstawiając do takiego równania wszystkie możliwe wartości t z określonego zakresu (zwykle t obiega zbiór liczb rzeczywistych), otrzymujesz wszystkie punkty krzywej.
Kiedy chcesz przekształcić równanie parametryczne do równania w postaci ogólnej, musisz dokonać takich przekształceń i podstawień, żeby wyrugować t - znaleźć wzór, w którym występują tylko zmienne x i y.