Potęga punktu w czworokącie wpisanym w koło

[Pawelek91]

Czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) jest wpisany w okrąg. Punkt \(\displaystyle{ M}\) jest środkiem przekątnej \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ \angle AMB \equiv \angle AMD}\). Wykazać, że \(\displaystyle{ |MA|^{2}=|MB|*|MD|}\)

[Vax]

AU

9e48ab25fc589f61m.jpg (6.23 KiB) Przejrzano 61 razy

[/url]

Przedłużmy prostą \(\displaystyle{ BM}\) i wybierzmy na niej taki punkt \(\displaystyle{ E}\), aby \(\displaystyle{ |ME|=|MD|}\) oraz znajdował się po przeciwnej stronie M co B. Z założenia o równości kątów dostajemy \(\displaystyle{ \angle BMC = \angle CMD = \alpha}\) czyli również \(\displaystyle{ \alpha = \angle EMA}\), więc \(\displaystyle{ \triangle AME \equiv \triangle MCD}\) (bkb) a z tego wynika, że \(\displaystyle{ ACDE}\) jest trapezem równoramiennym, więc okrąg opisany na \(\displaystyle{ \triangle ACD}\) przechodzi przez wierzchołek \(\displaystyle{ E}\), czyli dany punkt należy do naszego okręgu. Teraz wystarczy zauważyć, że \(\displaystyle{ \triangle AME \sim \triangle BCM}\) co nam daje \(\displaystyle{ |AM|\cdot |MC| = |MB| \cdot |ME| \Leftrightarrow |AM|^2 = |MB| \cdot |MD|}\) qed.