znajdź zbiór punktów płaszczyzny...
-
irracjonalistka
- Użytkownik
- Posty: 154
- Rejestracja: 27 lis 2008, o 15:17
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 4 razy
znajdź zbiór punktów płaszczyzny...
znajdź zbiór punktów płaszczyzny Oxy równoległych do okręgu \(\displaystyle{ x ^{2} +y ^{2}=1}\) i od prostej y-2=0 . Sporządź rysunek.
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
znajdź zbiór punktów płaszczyzny...
Niech \(\displaystyle{ l:y-2=0}\).
Promień danego okręgu ma długość \(\displaystyle{ 1}\) i jest to okrąg o środku w początku układu wspołrzędnych.
Odległość punktu \(\displaystyle{ P(x,y)}\) od prostej l wynosi \(\displaystyle{ d(l,P)=|y-2|}\)
Skoro szukamy zbioru punktów równoodległych od prostej i okręgu, to punkt \(\displaystyle{ P(x,y)}\) należy do rozważanego zbioru wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ |OP|-r=d(l,P)}\), co jest równoważne kolejno równościom:
\(\displaystyle{ \sqrt{x^{2}+y^{2}}-1=|y-2|}\)
\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=(|y-2|+1)^{2}}\)
\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=y^{2}-4y+5+2|y-2|}\)
\(\displaystyle{ x^{2}+4y-5-2|y-2|=0}\)
dla \(\displaystyle{ y \ge 0}\) wzór przybiera postać \(\displaystyle{ y=\frac{1-x^{2}}{2}}\) (czyli będzie to fragment paraboli), a dla \(\displaystyle{ y<0}\) wzór przybiera postać \(\displaystyle{ y=\frac{9-x^{2}}{6}}\)-- 12 marca 2009, 14:57 --Sprawdź jeszcze wszystkie przekształcenia.
Promień danego okręgu ma długość \(\displaystyle{ 1}\) i jest to okrąg o środku w początku układu wspołrzędnych.
Odległość punktu \(\displaystyle{ P(x,y)}\) od prostej l wynosi \(\displaystyle{ d(l,P)=|y-2|}\)
Skoro szukamy zbioru punktów równoodległych od prostej i okręgu, to punkt \(\displaystyle{ P(x,y)}\) należy do rozważanego zbioru wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ |OP|-r=d(l,P)}\), co jest równoważne kolejno równościom:
\(\displaystyle{ \sqrt{x^{2}+y^{2}}-1=|y-2|}\)
\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=(|y-2|+1)^{2}}\)
\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=y^{2}-4y+5+2|y-2|}\)
\(\displaystyle{ x^{2}+4y-5-2|y-2|=0}\)
dla \(\displaystyle{ y \ge 0}\) wzór przybiera postać \(\displaystyle{ y=\frac{1-x^{2}}{2}}\) (czyli będzie to fragment paraboli), a dla \(\displaystyle{ y<0}\) wzór przybiera postać \(\displaystyle{ y=\frac{9-x^{2}}{6}}\)-- 12 marca 2009, 14:57 --Sprawdź jeszcze wszystkie przekształcenia.