Prosta, odległość i punkt

[Kasiaczek]

Na prostej o równaniu 2x-y+5=0 wyznacz punkt Q, którego odległość od punktu P(3;0) jest najmniejsza. Oblicz tę najmniejszą odległość.

I cóż z tym zrobić? Postać kierunkową mam:
y=2x+5
Ale co dalej? Proszę o wskazówki:)

[lukasz1804]

Najmniejszą odległość najprościej wyznaczyć ze wzoru na odległość punktu od prostej. Do tego jest potrzebne właśnie równanie prostej w postaci ogólnej (dane). Oznaczmy tę odległość przez r. Mamy

\(\displaystyle{ r=\frac{|2\cdot 3-1\cdot 0+5|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\frac{11}{\sqrt{5}}=\frac{11\sqrt{5}}{5}}\).

Punkt Q wyznaczymy teraz jako punkt wspólny okręgu o środku w punkcie P i promieniu r z daną prostą.
Mamy \(\displaystyle{ \begin{cases} (x-3)^2+y^2=r^2 \\ 2x-y+5=0 \end{cases}}\). Stąd łatwo dostajemy \(\displaystyle{ Q=(-1,4;2,2)}\).