znalezienie rownania krzywej majac rownanie parametryczne2

[Sonea]

Równania parametryczne wyglądają następująco:

1. \(\displaystyle{ x=t^{2}-t+1}\)
\(\displaystyle{ y=t^{2}+t+1}\)

2. \(\displaystyle{ x=a\ln (t)}\)
\(\displaystyle{ y=\frac{a}{2}(t+\frac{1}{t}}\)

3. \(\displaystyle{ x=a+R\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}}\)
\(\displaystyle{ y=b+R\frac{2t}{1+t^{2}}}\)

4.\(\displaystyle{ x=\frac{a-t}{a+t}}\)
\(\displaystyle{ y=\frac{t}{a+t}}\)

Wczoraj umieściłam już podobne zapytanie na tym forum z tym, że teraz mam nadzieję, że wszystko dobrze napisałam.
Będę wdzięczna za każdą wskazówkę.

[Crizz]

1.) Najpierw równania przekształcasz do postaci:
\(\displaystyle{ \begin{cases} t=t^{2}+1-x \\ t=y-t^{2}-1 \end{cases}}\)
Dodając je stronami, otrzymujesz \(\displaystyle{ y-x=2t}\)
Następnie pierwotne równania dodajesz stronami, otrzymując \(\displaystyle{ x+y=2t^{2}+1}\)

Masz zatem układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} y-x=2t \\ x+y=2t^{2}+1 \end{cases}}\)
Z pierwszego równania wyznaczasz t i wstawiasz do drugiego równania.

-- 8 marca 2009, 12:00 --

2.) Z warunku \(\displaystyle{ x=alnt}\) wynika, że \(\displaystyle{ t=e^\frac{x}{a}}\). Podstawiasz otrzymaną wartość na t do drugiego równania.

-- 8 marca 2009, 12:07 --

3.) Stosujesz podstawienie \(\displaystyle{ t=tg\frac{\alpha}{2}}\). Wówczas \(\displaystyle{ x-a=Rcos\alpha,y-b=Rsin\alpha}\). Skoro \(\displaystyle{ sin^{2}\alpha+cos^{2}\alpha=1}\), to równanie otrzymanej krzywej ma postać \(\displaystyle{ (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=R^{2}}\).

Do tego samego można dojść bez podstawienia trygonometrycznego, wykonując dokładnie te same przekształcenia.

[Sonea]

Dziękuję:) Drugie zrobiłam, ale nie bardzo wiem jak z pierwszego narysować później wykres?

[Crizz]

Wykresem relacji drugiej jest pewna parabola o osi symetrii \(\displaystyle{ y=x}\), dlatego ciężko narysować dokładny wykres.

[Sonea]

Ok, dzięki:) A jakaś sugestia do 4, bo mi ciągle wychodzi prosta bez parametru a.

[Crizz]

Wszystko się zgadza.
\(\displaystyle{ x+y=\frac{a}{a+t}}\)
\(\displaystyle{ x+2y=1}\).

[Sonea]

Dobra, ale ja mam narysować krzywą, przedstawioną równaniami parametrycznymi, więc końcowy wykres powinien chyba zależeć od a.-- 8 mar 2009, o 14:13 --Już chyba wszystko(prawie:) ) wiem.
Dziękuję za wyjaśnienia.

[Crizz]

Nie musi zależeć od a.