Prosta/ Okrąg/Trójkąt/Prostokąt

[kasiulaaa2]

Proszę o pomoc w rozwiązaniu kilku zadanek, lub chociaż podaniu jakichś wskazówek dotyczących tych zadań w miarę jasno jeśli byłaby taka możliwość ew. podanie wzorów !:)


1. Prosta o równaniu y=3x+5 przecina oś OY w punkcie A, prosta o równaniu 2x-9y-30=0 przecina oś OX w punkcie B, a obie proste przecinają się w punkcie C.
a) Znajdź punkty A, B, C
b) Uzasadnij, że odcinki AB i AC są prostopadłe

2.proste k i l są równoległe do prostej o równaniu 2x+5y+7=0 i przechodzą przez punkty odpowiednio A=(-30, 12) i B=(-34, 2)
a)znajdź równania prostych k i l
b) oblicz odległość między prostymi k i l
c) Uzasadnij, że odcinek AB jest prostopadły do prostych k i l.

3.Punkty, A=(32) i B=(6, -5) są końcami średnicy koła
a) oblicz pole tego koła
b) znajdź równanie stycznej do teho koła w punkcie A.

4.Wierzchołkami trójkąta ABC są punkty A= (-3,0), B=(1,3) i C=(-1,4)
a) oblicz długość sysokości opuszczonej z wierzchołka C
b)Oblicz pole trójkąta ABC

5.Punkty B=(10,3) i C=(7,10) są wierzchołkami trójkąta ABC. Punkt S=(2,5) jest środkiem boku AB.
a)znajdź równanie prostej zawierającej środkową trójkąta ABC poprowadzoną z wierzchołka C
b) znajdź równanie symetralnej boku AB

6. Dane są punkty A=(1,3), B=(5,1) i C=(4,4)
a) uzasadnij, że trójkąt ABC jest równoramienny i prostokątny
b) znajdź promień okręgu opisanego a trójkącie ABC
c) Znajdź promień okręgu wpisanego w trójkąt ABC

7.Dwie wysokości trójkąta ABC gdzie a=(-2, -3) zawarte są w prostych o równaniach x-2=0 i 2x+3y-1=0. Oblicz współrzędne pozostałych wierzchołków tego trójkąta.

8.Punkty A=(4, -3) i B=(10,6) są wiezrchołkami prostokąta ABCD, a prosta 3x-2y+8=0 zawiera bok CD.
a) wyznacz równanie prostej AD
b)Oblicz współrzędne wierzchołka D
c) Oblicz pole prostokąta ABCD

9. Punkt A=(-10,8) jest wierzchołkiem kdratu ABCD a prosta y = -x+4 zawiera jedną z jego przekątnych
a) znajdź współrzędne środka symetrii kwadratu ABCD
b)oblicz długość boku tego kwadratu.

10 prosta o równaniu y = -2x+3 zwiera jeden z boków kwadratu,a punkt S=(3, 12) jest środkiem symetrii tego kwadratu
a)oblicz pole koła wpisanego w ten kwadrat
) oblicz pole koła opisanego na tym kwadracie.


Z góry serdecznie dziękuję !!:)

[thelian]

1.
pierwsza prosta przecina w punkcie a os OY wiec współrzędna x jest równa 0
\(\displaystyle{ y=5}\)
\(\displaystyle{ A(0,5)}\)

druga prosta przecina OX wiec współrzędna y jest równa 0
\(\displaystyle{ 2x-30=0}\)
\(\displaystyle{ x=15}\)
\(\displaystyle{ B(15,0)}\)

teraz obliczamy punkt C
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=3x+5\\9y=2x-30\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} -9y=-27x-45\\9y=2x-30\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ 0=-25x-75}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=-3\\y=-4\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ C(-3,-4)}\)

teraz jednym ze sposobów udowodnienia, ze te odcinki są prostopadłe może być podstawienie do pitagorasa - jeśli \(\displaystyle{ |AB|^{2}+|AC|^{2}=|BC|^{2}}\) to znaczy, że są prostopadłe

obliczasz długości tych boków ze wzoru \(\displaystyle{ \sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}\)

\(\displaystyle{ |AB|= \sqrt{250}}\)
\(\displaystyle{ |AC|= \sqrt{90}}\)
\(\displaystyle{ |BC|= \sqrt{340}}\)
i widać pitagorasa - udowodnione, że są prostopadłe

-- 6 mar 2009, o 23:57 --

2. k i l są równoległe do tamtej prostej więc są postaci
\(\displaystyle{ 5y=-2x+b}\)
podstawiamy współrzędne punktów:
A(-30,12)
\(\displaystyle{ 5 \cdot 12=-2 \cdot (-30)+b}\)
\(\displaystyle{ b=0}\)
\(\displaystyle{ k:5y=-2x}\)

B(-34,2)
\(\displaystyle{ 5 \cdot 2=-2 \cdot (-34)+b}\)
\(\displaystyle{ b=-58}\)
\(\displaystyle{ l:5y=-2x-58}\)

b)odległość miedzy prostymi to odległość między punktami A i B czyli (korzystając ze wzoru z zadania pierwszego:
\(\displaystyle{ \sqrt{(-34-(-30))^{2}+(2-12)^{2}}= \sqrt{116}}\)
c)jeśli |AB| to odległość k od l to k musi być prostopadłe do l

@down: późno było. miałem dzis dokończyć, ale już mnie ktoś uprzedził

[kasiulaaa2]

Świetnie !
Wszystko rozumiem !
Dobry z Pana pedagog

Szkoda, że tylko 2 zadanka:>

[marcinn12]

Zad 3

\(\displaystyle{ A(3,2)}\) , \(\displaystyle{ B(6,-5)}\)

Szukasz środka odcinka AB, będzie to środek okregu.

\(\displaystyle{ S= (\frac{x_{a}+x_{b}}{2}; \frac{y_{a}+y_{b}}{2})}\)
\(\displaystyle{ S=(4 \frac{1}{2}, -\frac{3}{2})}\)

Długość promienia to długość odcinka \(\displaystyle{ |AS|=|BS|}\) lub \(\displaystyle{ \frac{1}{2}|AB|}\)

\(\displaystyle{ |AB|= \sqrt{9+49}= \sqrt{58}}\)
\(\displaystyle{ r= \frac{\sqrt{58} }{2}}\)

Równanie okręgu ma postac:

\(\displaystyle{ (x-4 \frac{1}{2})^{2}+(y+\frac{3}{2})= 14,5}\)

a)
\(\displaystyle{ P=\Pi* r^{2}}\)
\(\displaystyle{ P=14,5*\Pi \approx 45,5}\)

b)

Trzeba wyznaczyć równanie prostej AB.

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2=3a+b \\ -5=6a+b \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ AB; y=- \frac{7}{3} +9}\)

Styczna będzie protopadła dlatego ma wppólczynnk kierunkowy równy \(\displaystyle{ a= \frac{3}{7}}\) i dodatkowo wiemy że przechodzi przez punkt A.

\(\displaystyle{ y=ax+b}\)
\(\displaystyle{ y=\frac{3}{7}x+b}\)
\(\displaystyle{ 2=\frac{3}{7}*3+b}\)
\(\displaystyle{ b= \frac{5}{7}}\)
\(\displaystyle{ y=\frac{3}{7}x-\frac{5}{7}}\) --> szukana styczna

Zad 4

A= (-3,0), B=(1,3) i C=(-1,4)

Długosc boku \(\displaystyle{ |AB|= \sqrt{(-3-1)^{2}+(-3)^{2}} =5}\)

Równanie prostej AB:

\(\displaystyle{ \begin{cases} 0=-3a+b\\ 3=a+b \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ y= \frac{3}{4} x+ \frac{9}{4}}\)
\(\displaystyle{ 3x-4y+9=0}\)

Ze wzoru na odległość punktu od prostej: Wyjaśnienie klik

\(\displaystyle{ h=d(C,AB)= \frac{|3*(-1)+(-4)*4+9|}{5}}\)
\(\displaystyle{ h=2}\)
\(\displaystyle{ P= \frac{1}{2} *|AB|*h= \frac{1}{2}*5*2=5}\)

-- 7 marca 2009, 10:41 --

Zadanie 5

Środek boku ma współrzedne \(\displaystyle{ S=(2,5)}\). Mamy wierzchołek B to możemy spokojnie policzyc A.

\(\displaystyle{ S=( \frac{x_{a}+x_{b}}{2}; \frac{y_{a}+y_{b}}{2})}\)
\(\displaystyle{ \frac{x_{a}+x_{b}}{2}=2}\)
\(\displaystyle{ x_{a}=-6}\)

\(\displaystyle{ \frac{y_{a}+y_{b}}{2}=5}\)
\(\displaystyle{ y=7}\)

\(\displaystyle{ A(-6,7)}\)

Środkową poprowadzoną z wierzchołka C obliczysz z układu:

\(\displaystyle{ \begin{cases} 5=2a+b\\ 10=7a+b \end{cases}}\)

Natomiast symetralna boku AB będzie prostopadła do boku AB i bedzie przechodzic przez punkt S.

Rownanie prostej AB: (* tutaj nawet nie trzeba było obliczać punktu A bo można było wykorzystać S)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 7=-6a+b \\ 3=10a+b \end{cases}}\).

Znajdziesz równanie prostej, będzie wspólczynnik a następnie trzbea wykorzystać punkt S powinno ładnie wyjść.

-- 7 marca 2009, 10:51 --

Zad 6

A=(1,3), B=(5,1) i C=(4,4)

Trzeba obliczyć długości boków ze wzoru:

\(\displaystyle{ |AB|= \sqrt{(x_{a}-x_{b})^{2}+(y_{a}-y_{b})^{2}}}\)

\(\displaystyle{ |AB|= \sqrt{20} =2 \sqrt{5}}\)
\(\displaystyle{ |BC|= \sqrt{10}}\)
\(\displaystyle{ |CA|= \sqrt{10}}\)

\(\displaystyle{ |BC|=|CA|}\) -> jest rónoramienny.

Z tw. odwrotnego do tw. Pitagorasa:

\(\displaystyle{ (2 \sqrt{5})^{2}=(\sqrt{10})^{2}+(\sqrt{10})^{2}}\)
\(\displaystyle{ 20=10+10}\)
\(\displaystyle{ 20=20}\)

Jest to trójkąt prostokatny.

b)

Promień opisanego będzie miał długość równą połowy przeciwprostokątnej czyli \(\displaystyle{ R= \sqrt{5}}\)

c)

Ze wzoru: \(\displaystyle{ P= \frac{1}{2}(a+b+c)*r}\)
\(\displaystyle{ P= \frac{1}{2}*|AB|*|CA|=5}\)

\(\displaystyle{ 5= \frac{1}{2} (2 \sqrt{10} +2 \sqrt{5} )*r}\)
\(\displaystyle{ r= \sqrt{10} - \sqrt{5}}\)

Zadanie 7

66535.htm

-- 7 marca 2009, 11:06 --

Zadanie 8

Najpierw równanie prostej AB, która powinna mieć taki sam współczynnik kierunkowy jak prosta CD bo jest do niej równoległa.

\(\displaystyle{ \begin{cases} 6=10a+b \\ -3=4a+b \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ y= \frac{3}{2}-9}\)

Wyznaczamy teraz prostą BD która jest prostopadła do AB i CD.

Współczynik kierunkowy tej prostej już mamy i jest równy \(\displaystyle{ a= -\frac{2}{3}}\).

Teraz wykorzystajmy punkt B.

\(\displaystyle{ y=ax+b}\)
\(\displaystyle{ y= -\frac{2}{3}*x+b}\)
\(\displaystyle{ 6=-\frac{2}{3}*10+b}\)
\(\displaystyle{ b= \frac{38}{3}}\)
\(\displaystyle{ y=- \frac{2}{3}x+ \frac{38}{3}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} y=- \frac{2}{3}x+ \frac{38}{3} \\ 3x-2y+8 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} y=- \frac{2}{3}x+ \frac{38}{3} \\ y= \frac{3}{2}x+4 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ - \frac{2}{3}x=\frac{3}{2}x+4}\)
\(\displaystyle{ x=4}\)
\(\displaystyle{ y=10}\)
\(\displaystyle{ D(4,10)}\)

Równanie prostej Ad teraz nie powinno sprawić problemu, pole prostokąta też. Oblicz dlugości boków |AB| i |BD| bo pole to P=a*b.

-- 7 marca 2009, 11:16 --

Zadanie 9

Nie chce mi się już liczyć :p

Sprawdź, że punkt A nie nalezy do danej przekątnej w zadaniu więc to musi być ta druga.
a) Srodek symetrii to będzie punkt przecięcia przekątnych, dodatkowo wiesz, że przekątne w kwadracie przecinają sie pod kątem prostym. Wyznacz sobie drugą przekątną i utwórz uklad równań dwóch przekątnych. Wyjdzie Ci punkt przeciecia się tych prostych czyli środek symetrii.
b) Długość boku z tw Pitagorasa mając przekątną, \(\displaystyle{ a^{2}+a^{2}=d^{2}}\) => \(\displaystyle{ 2a^{2}=d^{2}}\).

-- 7 marca 2009, 11:20 --

Zadanie 10

Oblicz sobie odległość punktu S od prostej danej w zadaniu. Będzie to połowa długości boku. Poźniej z twierdzenia pitagorasa (lub ze wzoru) obliczysz długość przekątnej kwadratu. Promien to bedzie połowa przekątnej, do wzoru podstawić promien i gotwe.

Pytania pisz...

[kasiulaaa2]

Oooo dzięki wielkie !
Jak tylko przeanalizuję te zadania i będę maiał jakieś pytania, to napiszę !

Dziękuję jeszcze raz i pozdrawiam serdecznie :>
;*-- 8 marca 2009, 15:36 --W zadaniu 5 nie wiem za bardzo o co chodzi z tą symetralną?