Najmniejsza odległość punktu od okręgu

Endus · Post autor: **Endus** » 1 mar 2009, o 21:22

Wyznacz współrzędne punktu P leżącego na prostej l: \(\displaystyle{ y = -3x}\), którego odległość od punktów okręgu \(\displaystyle{ (x-4)^2 + y^2 = 4}\) jest najmniejsza.

No to przez środek okręgu prowadzę prostą prostopadłą do prostej l, a ich punkt przecięcia to będzie najmniejsza odległość, tak? No bo prosta l nie ma punktów wspólnych z okręgiem.
Mi wychodzi \(\displaystyle{ P = (\frac{4}{10}; -1)}\). Natomiast w odpowiedziach zrobili coś takiego, że policzyli prostopadłą, a potem ją wstawili do układu równań wraz z równaniem okręgu, ale nie rozumiem dlaczego...

Crizz · Post autor: **Crizz** » 1 mar 2009, o 22:45

Sprawdź jeszcze swoje obliczenia, wydaje mi się, ze powinno wyjść \(\displaystyle{ \left(\frac{2}{5},-\frac{6}{5}\right)}\).

Jeśli w odpowiedziach jest tak, jak mówisz, to prawdopodobnie zrobili błąd.

bzyk12 · Post autor: **bzyk12** » 1 mar 2009, o 23:04

podaj odpowiedź to coś poradzimy.

Endus · Post autor: **Endus** » 3 mar 2009, o 14:51

Tak, przepraszam \(\displaystyle{ (\frac{2}{5};-\frac{6}{5})}\).

Natomiast w książce, punkt ten ma współrzędne:
\(\displaystyle{ P = (\frac{20 - 3\sqrt{10}}{5}; \frac{\sqrt{10}}{5})}\)

bzyk12 · Post autor: **bzyk12** » 3 mar 2009, o 16:33

punkt:
\(\displaystyle{ P=( \frac{20-3 \sqrt{10} }{5}, \frac{- \sqrt{10} }{5})}\)
jest punktem przeciecia sie tej prostej prostopadłej do y=-3x [w punkcie\(\displaystyle{ ( frac{2}{5} , frac{-6}{5})}\) ]z tym okręgiem.
Może tresc zadania była odwrotna:
Znaleźć współrzedne punktu P leżącego na okręgu....,którego odległość od prostej....jest najmniejsza.

Endus · Post autor: **Endus** » 3 mar 2009, o 17:23

bzyk12 pisze:Może tresc zadania była odwrotna

Może w zamyśle, ale wyszło tak, że rozwiązanie jest do innego.

Jak ktoś ciekaw:
"Testy dla maturzysty. Matura 2009." Marzena Orlińska; wyd. Operon zad 5 str 62

marcinn12 · Post autor: **marcinn12** » 3 mar 2009, o 18:03

Mam to ksiązkę. Spotkasz w niej też kilka innych błędów np pamietam tez zadanie z przekatnymi rownolegloboku i trzeba bylo cos tam udowodnic. Zadanie było źle sformuowane a w odpowiedziach z tyłu (tam jest przeciez cała analiza zadania) było już wszystko ok. Co ciekawe było tam zadanie z matury CKE z stereometri. Identyczna treść Więc jak ktoś przerabiał wcześniej zbiór to nie miał problemu z tym zadaniem

Pzdr