Trójkąt prostokątny i okrąg wpisany oraz opisnay na nim

[wieszak]

Wykaż, ze w trójkącie prostokątnym suma długości obu przyprostokątnych jest równa sumie długości średnic okregów wpisanego i opisanego na tym trójkącie.


i odp. do tego : zauważ ze c=2R; c=(a-r)+(b-r)

[DEXiu]

Było wielokrotnie.
To, że c=2R chyba jest oczywiste (w tr. prost. środek okr. opis. znajduje się w połowie przeciwprost.), nastomiast nieco gorzej zauważyć tą drugą zależność. Wpisując okrąg w trójkąt prostokątny prowadzimy sobie promienie do punktów styczności z bokami tójkąta oraz łączymy środek okręgu z wierzchołkami i zauważamy, że powstał nam taki "kwadracik" o boku r i dwie pary trójkątów przystających (z cechy kbk - kąty są równe, bo są to trójkąciki prostokąne oraz odcinki między środkiem okręgu a wierzchołkami zawierają się w dwusiecznych kątów wewnętrznych dużego trójkąta. Zatem punkt styczności okręgu z przeciwprost. dzieli ją na dwa odcinki o długościach a-r oraz b-r. Czyli c=(a-r)+(b-r). Przekształcamy sobie oba wzory i dostajemy:
\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l}0=2R-c\\a+b=2r+c\end{array}}\)
Skąd po zsumowaniu stronami dostajemy to co chcieliśmy: \(\displaystyle{ a+b=2R+2r}\)