Wyznacz równanie okręgu
-
Sylwek777
- Użytkownik
- Posty: 62
- Rejestracja: 13 sie 2008, o 18:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Podlasie
- Podziękował: 25 razy
Wyznacz równanie okręgu
Okrąg przechodzący przez punkt A=(-1,1) jest styczny do prostej o równaniu y=x-2 w punkcie P=(4,2). Wyznacz równanie tego okręgu.
-
bzyk12
- Użytkownik
- Posty: 327
- Rejestracja: 18 lut 2009, o 12:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Oświęcim/Wawa
- Podziękował: 39 razy
- Pomógł: 43 razy
Wyznacz równanie okręgu
równanie okręgu jest następujące:
\(\displaystyle{ (x-a) ^{2}+(y-b) ^{2}= r^{2}}\)
środek okręgu ma współrzędne:
\(\displaystyle{ S=(a,b)}\)
możemy zapisać następujace fakty:
\(\displaystyle{ \left|AS \right|= \sqrt{(a+1) ^{2}+ (b-1)^{2} }}\)
i
\(\displaystyle{ \left|PS \right|= \sqrt { (a-4)^{2}+(b-2) ^{2} }}\)
teraz te odcinki muszą być sobie równe gdyż są to promienie:
\(\displaystyle{ \sqrt{(a+1) ^{2}+ (b-1)^{2} }=\sqrt { (a-4)^{2}+(b-2) ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ \Rightarrow b=-5a+9}\)
jak wiemy "a" odpowiada współrzędnej x, a "b" wsółrzędnej y:
\(\displaystyle{ y=-5x+9}\)-jest to potencjalny zbiór punktów w którym znajdyje się promień, lecz wiemy że okrąg był także styczny do prostej y=x-2 to znaczy że jego promień pada w punkcie P pod kątem prostym na tę prostą. Wyznaczmy równanie tej prostej:
\(\displaystyle{ y=-x+6}\)
następnie te dwie proste się przecinają w jednym punkcie z tąd równość:
\(\displaystyle{ -5x+9=-x+6}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{3}{4}}\)
\(\displaystyle{ y= 5\frac{1}{4}}\)
środek tego okręgu ma spółrzędne:
\(\displaystyle{ S=( \frac{3}{4}, 5\frac{1}{4})}\)
\(\displaystyle{ (x- \frac{3}{4}) ^{2}+(y- 5\frac{1}{4})^{2}=r^{2}}\)
do równania podstawiamy punkt A i wyliczamy promień:
\(\displaystyle{ r ^{2}=21 \frac{1}{8}}\)
równanie tego okręgu:
\(\displaystyle{ (x- \frac{3}{4}) ^{2}+(y-5 \frac{1}{4})^{2}=21 \frac{1}{8}}\)
\(\displaystyle{ (x-a) ^{2}+(y-b) ^{2}= r^{2}}\)
środek okręgu ma współrzędne:
\(\displaystyle{ S=(a,b)}\)
możemy zapisać następujace fakty:
\(\displaystyle{ \left|AS \right|= \sqrt{(a+1) ^{2}+ (b-1)^{2} }}\)
i
\(\displaystyle{ \left|PS \right|= \sqrt { (a-4)^{2}+(b-2) ^{2} }}\)
teraz te odcinki muszą być sobie równe gdyż są to promienie:
\(\displaystyle{ \sqrt{(a+1) ^{2}+ (b-1)^{2} }=\sqrt { (a-4)^{2}+(b-2) ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ \Rightarrow b=-5a+9}\)
jak wiemy "a" odpowiada współrzędnej x, a "b" wsółrzędnej y:
\(\displaystyle{ y=-5x+9}\)-jest to potencjalny zbiór punktów w którym znajdyje się promień, lecz wiemy że okrąg był także styczny do prostej y=x-2 to znaczy że jego promień pada w punkcie P pod kątem prostym na tę prostą. Wyznaczmy równanie tej prostej:
\(\displaystyle{ y=-x+6}\)
następnie te dwie proste się przecinają w jednym punkcie z tąd równość:
\(\displaystyle{ -5x+9=-x+6}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{3}{4}}\)
\(\displaystyle{ y= 5\frac{1}{4}}\)
środek tego okręgu ma spółrzędne:
\(\displaystyle{ S=( \frac{3}{4}, 5\frac{1}{4})}\)
\(\displaystyle{ (x- \frac{3}{4}) ^{2}+(y- 5\frac{1}{4})^{2}=r^{2}}\)
do równania podstawiamy punkt A i wyliczamy promień:
\(\displaystyle{ r ^{2}=21 \frac{1}{8}}\)
równanie tego okręgu:
\(\displaystyle{ (x- \frac{3}{4}) ^{2}+(y-5 \frac{1}{4})^{2}=21 \frac{1}{8}}\)