Wektory, równoległościan, pole, objętość

ChiChi · Post autor: **ChiChi** » 27 lut 2009, o 20:29

wektory \(\displaystyle{ \vec{AB} \vec{AC} \vec{AD}}\) tworzą krawędzie pewnego równoległościanu przy czym znane są współrzędne punktów A(-2,1,-3) B(1,-3,1) C(-2,1,-1) D(-2,-1,-3)

w tym zadaniu trzeba było obliczy współrzędna y-rekową \(\displaystyle{ \vec{AD}}\), która obliczyłem i ma wartość: -2

Później Iloczyn wektorowy \(\displaystyle{ \vec{AB} x \vec{AC}}\) który jest równy: (-8,-6,0)

no i pozostaje do obliczenia pole powierzchni bocznej całego równoległościanu i objętość

Ktoś pomoże ?

Kibu · Post autor: **Kibu** » 27 lut 2009, o 20:43

Objętość równoległościanu równa jest bezwzględnej wartości iloczynu mieszanego wektorów, na których "jest rozpięty". Objętość równoległoboku równa jest modułowi iloczynu wektorowego "boków".

ChiChi · Post autor: **ChiChi** » 27 lut 2009, o 21:00

mógłbyś mi to rozpisać krok po kroku ?

no taki o to wzór znalazłem V= |(axb)c|
czyli : V= |[(-2,1,3)x(1,-3,1)](-2,1,-1) = (-2-3+3)(-2,1,-1) = (4,-2,2)
chyba coś zamotałem...

Kibu · Post autor: **Kibu** » 27 lut 2009, o 23:20

\(\displaystyle{ \overrightarrow{AB}=[3, -4, 4], \overrightarrow {AC}=[0, 0, 2], \overrightarrow {AD}=[0, -2, 0]}\), teraz żeby obliczyć ten ioczyn mieszany najwygodniej jest zrobić macierz:
pierwszy wiersz: 3, -4, 4
drugi: 0, 0, 2
trzeci: 0, -2, 0.
A potem obliczyć jej wyznacznik.
A pole równoległoboku analogicznie, tylko w pierwszym wierszu macierzy same jedynki.

ChiChi · Post autor: **ChiChi** » 28 lut 2009, o 07:29

wyszło mi V=12 i P=4, a te pole to jest pole całej figury czy to jest pole bocznej jak było wymagane wyżej.

Kibu · Post autor: **Kibu** » 28 lut 2009, o 09:59

Ja pole powierzchni bocznej rozumiem jako sumę pól wszystkich jego ścian. Czyli np. 3 macierze, zsumować wyznaczniki i pomnożyć przez 2.