Zbiór punktów

[matur]

Znajdź zbior wszytskich środkow okręgów zzewnętrznie stycznych do okręgu o równaniu \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=16}\) i jednocześnie stycznych do prostej o równaniu\(\displaystyle{ y=4}\)

[Crizz]

Pierwszy przypadek:
szukany okrąg leży w całości nad prostą \(\displaystyle{ y=4}\), wtedy jest styczny i do prostej \(\displaystyle{ y=4}\), i do okręgu \(\displaystyle{ o:x^{2}+y^{2}=16}\) wtedy i tylko wtedy, gdy jest styczny do okręgu \(\displaystyle{ o}\) w punkcie \(\displaystyle{ (0,4)}\), czyli jego środek leży na osi Oy. W takim razie rozwiązaniem jest półprosta bez początku, okreslona przez warunki:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=0 \\ y>4 \end{cases}}\)

Drugi przypadek:
szukany okrąg leży w całości pod prostą \(\displaystyle{ y=4}\)
Niech punkt \(\displaystyle{ P(x,y)}\) będzie środkiem danego okręgu, a r jego promieniem wtedy odległość OP jest równa sumie długości promienia tego okręgu i okręgu o, tzn.:
\(\displaystyle{ \sqrt{x^{2}+y^{2}}=r+4}\)
\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=(r+4)^{2}}\)

Skoro szukany okrąg ma ponadto być styczny do prostej \(\displaystyle{ y=4}\), to odległość środka okręgu od tej prostej (czyli \(\displaystyle{ 4-y}\)) musi być równa promieniowi:
\(\displaystyle{ 4-y=r}\)

Otrzymujemy stąd układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2}+y^{2}=(r+4)^{2} \\ 4-y=r \end{cases}}\)
równoważny równaniu: \(\displaystyle{ x^{2}+16y-64=0}\)
Możemy to równanie zapisać w postaci \(\displaystyle{ y=-\frac{x^{2}}{16}+4}\)
Oczywiście \(\displaystyle{ x \neq 0}\), bo okrąg o środku w tym punkcie, styczny do prostej \(\displaystyle{ y=4}\) i okręgu o byłby po prostu punktem.

Ostatecznie, szukanym zbiorem jest suma mnogościowa półprostej bez początku:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=0 \\ y>4 \end{cases}}\)
i parabola \(\displaystyle{ y=-\frac{x^{2}}{16}+4}\) bez punktu \(\displaystyle{ (0,4)}\).