równanie okręgu stycznego do prostej

[mateusz.ex]

Znajdź równanie okręgu o promieniu długosci 10, stycznego do prostej \(\displaystyle{ y= \frac{1}{3}x}\) oraz do prostej \(\displaystyle{ y= -\frac{1}{3}x}\)

[rubik1990]

Korzystasz ze wzoru na odległość punktu od prostej. Twoim punktem jest środek okręgu \(\displaystyle{ S(x;y)}\). Liczysz obie odległości od prostych a potem porównujesz bo muszą być równe i w dodatku równe 10. Powinny Ci wyjść cztery okręgi: \(\displaystyle{ (x+10\sqrt{10})^{2}+y^{2}=100 \vee (x-10\sqrt{10})^{2}+y^{2}=100 \vee x^{2}+(y+\frac{10\sqrt{10}}{3})^{2}=100 \vee x^{2}+(y-\frac{10\sqrt{10}}{3})^{2}=100}\). Jak coś nie będziez mógł zrobić to napisz

[kamil13151]

Odległość mam liczyć tak?

\(\displaystyle{ \frac{1}{3}x + y = 0}\)
\(\displaystyle{ d = \frac{\left| \frac{1}{3} \cdot x + y\right| }{ \sqrt{( \frac{1}{3}) ^{2} + 1 ^{2} } } = \frac{x + y}{ \sqrt{ \frac{10}{9} } }}\)

Czy jednak ma dać dowolny punkt?

[rubik1990]

No prawie dobrze tylko nie możesz gubić tego modułu, bo suma \(\displaystyle{ \frac{1}{3} \cdot x + y}\) nie musi być dodatnia. Ogólnie to w tym zadaniu można się nieźle naliczyć jeżeli się chwile nie zastanowi

[kamil13151]

Tak to potem będzie wyglądać? Tylko jak potem x lub y wyliczyć, bezwzględność mi przeszkadza ;/.

\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{\left| \frac{1}{3} x + y\right| }{ \sqrt{ \frac{10}{9} } } = 10 \\ \frac{\left| -\frac{1}{3} x + y\right| }{ \sqrt{ \frac{10}{9} } } = 10 \end{cases}}\)

[rubik1990]

Z tego układu wynika że \(\displaystyle{ \left| \frac{1}{3} x + y\right|=\left|- \frac{1}{3} x + y\right|}\). Teraz podnieś stronami do kwadratu. Potem już łatwo

[kamil13151]

Jak podniosę obie strony do kwadratu to będą przecież identyczne, czyli równanie bez rozwiązania?

[rubik1990]

Policz porządnie bo wcale nie będą identyczne