Badanie stycznosci plaszczyzn

[szczepanik89]

Zadanie
Wykazac ze powierchnie \(\displaystyle{ x+2y-lnz+4=0}\) i \(\displaystyle{ x^{2}-xy-8x+z+5=0}\) sa styczne do siebie w punkcie P(2,-3,1)
prezentuje swoj sposob myslenia
1 powierzchnia:
\(\displaystyle{ x+2y-lnz+4=0}\)
Pochodne czastkowe
\(\displaystyle{ F_{x}=1,F_{y}=2,F_{z}=\frac{-1}{z}}\)
wartosci pochodnych czastkowych w punkcie P
\(\displaystyle{ F_{x}=1,F_{y}=2,F_{z}=-1}\)
wektor v=[1,2,-1] prostopadly do plaszczyzny 1
2 powierchnia
\(\displaystyle{ x^{2}-xy-8x+z+5=0}\)
Pochodne czastkowe
\(\displaystyle{ F_{x}=2x-y-8,F_{y}=-x,F_{z}=1}\)
wartosci pochodnych czastkowych w punkcie P
\(\displaystyle{ F_{x}=-1,F_{y}=-2,F_{z}=1}\)
wektor w=[-1,-2,1] prostopadly do powierchni 2
i co dalej z tym zrbic prosze o pomoc

[Maciej87]

To już koniec:
zauważ że wektor w obu przypadkach wyznacza tą samą prostą- przestrzeń prostopadłą.
Przestrzeń wektorów stycznych (dwuwymiarowa) też jest taka sama (dopełnia tą pierwszą ortogonalnie).

Jeśli chcesz zrobić jeszcze inaczej wypisz wzory na przestrzeń styczną.

[szczepanik89]

znaczy nie za bardzo rozumiem widze tylko ze jeden wektor jest podobny i jest pomnozony przez (-1) , dla mnie nic z tego nie wynika... mozesz to jasniej wytlumaczyc?

[Maciej87]

No to bardzo dobrze że widzisz.
Patrzymy na wektory styczne i prostopadłe wychodzące z tego punktu powierzchni.
Wektory styczne i prostopadłe są do siebie prostopadłe. Oba tworzą przestrzenie liniowe.
Przestrzeń styczna i prostopadła czy też normalna (tak się mówi?), są prostopadłe.
Po pierwsze:
Przestrzenią prostopadłą jest prosta, rozpięta na jednym wektorze prostopadłym.
Jest ten sam z dokładnością do czynnika więc proste są te same, ok?
Przestrzenie prostopadłe (proste prostopadłe) są równe.
Po drugie:
Mamy tą samą przestrzeń prostopadłą (prostą). Zatem mamy tą samą przestrzeń prostopadłą do prostej. Ale to jest właśnie przestrzeń styczna do powierzchni.