1. Znajdz rownania stycznych do okregu \(\displaystyle{ x ^{2} +y ^{2}=1}\) przechodzacych przez \(\displaystyle{ R=(1,2)}\)
2. Znajdz rownanie prostej zawierajacej dwusieczna kata utworzonego przez proste \(\displaystyle{ 5x+12y+2=0 i 3x+4y+2=0}\)
3. Dane sa rownania dwoch okregow: \(\displaystyle{ (x-3) ^{2}+y ^{2}=9 i (x+5) ^{2}+y ^{2}=25.}\) Znajdz rownania prostych stycznych do obu tych okregow.
Równania stycznych, dwusiecznej, okręgu.
Równania stycznych, dwusiecznej, okręgu.
Ostatnio zmieniony 21 lut 2009, o 17:46 przez Justka, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Równania stycznych, dwusiecznej, okręgu.
1.) pierwszy przypadek: prosta nie jest równoległa do Oy:
Skoro prosta ma przejść przez \(\displaystyle{ (1,2)}\) to jej równanie jest postaci \(\displaystyle{ y=ax=2-a}\),
Szukasz takiego a, dla którego układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2}+y^{2}=1 \\ y=ax+2-a \end{cases}}\)
ma jedno rozwiązanie. Podstawiasz wzór na y z drugiego równania do pierwszego, otrzymujesz:
\(\displaystyle{ x^{2}(a^{2} + 1) + 2a(2 - a) \cdot x + a^{2} - 4a + 3 = 0}\)
Liczysz wyróżnik:
\(\displaystyle{ \Delta = 4(4a-3)}\)
\(\displaystyle{ \Delta=0}\) dla \(\displaystyle{ a=\frac{3}{4}}\)
szukaną prostą jest \(\displaystyle{ y=\frac{3}{4}x+\frac{5}{4}}\)
drugi przypadek: prosta jest równoległa do osi OY:
oczywiście prosta \(\displaystyle{ x=1}\) też jest jednym z rozwiązań zadania
-- 21 lutego 2009, 19:40 --
2.) korzystamy ze wzoru na odległość punktu od prostej: odległość punktu\(\displaystyle{ (x,y)}\) od prostej \(\displaystyle{ Ax+By+C=0}\) wynosi \(\displaystyle{ \frac{|Ax+By+C|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}}\)
Dwusieczna kąta to zbiór punktów jednakowo odległych od ramion kąta, dla punktów szukanych prostych zachodzi zatem:
\(\displaystyle{ \frac{|5x+12y+2|}{\sqrt{5^{2}+12^{2}}}= \frac{|3x+4y+2|}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}}\)
Raz opuszczasz moduł nie zmieniając znaków po żadnej stronie, a raz zmieniając znaki po jednej ze stron równania. W ten sposób otrzymujesz równania obydwu dwusiecznych.-- 21 lutego 2009, 19:44 --Robiłem kiedyś zadanie podobne do trzeciego (albo nawet takie samo), rozwiązanie nie jest przyjemne...
Skoro prosta ma przejść przez \(\displaystyle{ (1,2)}\) to jej równanie jest postaci \(\displaystyle{ y=ax=2-a}\),
Szukasz takiego a, dla którego układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2}+y^{2}=1 \\ y=ax+2-a \end{cases}}\)
ma jedno rozwiązanie. Podstawiasz wzór na y z drugiego równania do pierwszego, otrzymujesz:
\(\displaystyle{ x^{2}(a^{2} + 1) + 2a(2 - a) \cdot x + a^{2} - 4a + 3 = 0}\)
Liczysz wyróżnik:
\(\displaystyle{ \Delta = 4(4a-3)}\)
\(\displaystyle{ \Delta=0}\) dla \(\displaystyle{ a=\frac{3}{4}}\)
szukaną prostą jest \(\displaystyle{ y=\frac{3}{4}x+\frac{5}{4}}\)
drugi przypadek: prosta jest równoległa do osi OY:
oczywiście prosta \(\displaystyle{ x=1}\) też jest jednym z rozwiązań zadania
-- 21 lutego 2009, 19:40 --
2.) korzystamy ze wzoru na odległość punktu od prostej: odległość punktu\(\displaystyle{ (x,y)}\) od prostej \(\displaystyle{ Ax+By+C=0}\) wynosi \(\displaystyle{ \frac{|Ax+By+C|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}}\)
Dwusieczna kąta to zbiór punktów jednakowo odległych od ramion kąta, dla punktów szukanych prostych zachodzi zatem:
\(\displaystyle{ \frac{|5x+12y+2|}{\sqrt{5^{2}+12^{2}}}= \frac{|3x+4y+2|}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}}\)
Raz opuszczasz moduł nie zmieniając znaków po żadnej stronie, a raz zmieniając znaki po jednej ze stron równania. W ten sposób otrzymujesz równania obydwu dwusiecznych.-- 21 lutego 2009, 19:44 --Robiłem kiedyś zadanie podobne do trzeciego (albo nawet takie samo), rozwiązanie nie jest przyjemne...