Chodzi mi o to że:
1) znam współrzędne wieszchołków trójkąta lub czworokąta w przestrzeni
2) znam współrzędne odcinka
Jak sprawdzić czy się przecinają?
Powieszchnia + Odcinek - Czy się przecinają?
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Powieszchnia + Odcinek - Czy się przecinają?
Czy chodzi ci o sprawdzenie, czy odcinek przecina daną płaszczyznę wyznaczoną przez trójkąt?
Jeśli tak to:
Niech \(\displaystyle{ f(x,y,z)=0}\) bedzie równaniem płaszczyzny, A i B rozważanymi punktami. Jeśli \(\displaystyle{ f(A)>0 \wedge f(B)>0}\), lub \(\displaystyle{ f(A)<0 \wedge f(B)<0}\), to punkty A i B leżą po tej samej stronie płaszczyzny, w przeciwnym razie A i B leżą po różnych jej stronach.
Jeśli tak to:
Niech \(\displaystyle{ f(x,y,z)=0}\) bedzie równaniem płaszczyzny, A i B rozważanymi punktami. Jeśli \(\displaystyle{ f(A)>0 \wedge f(B)>0}\), lub \(\displaystyle{ f(A)<0 \wedge f(B)<0}\), to punkty A i B leżą po tej samej stronie płaszczyzny, w przeciwnym razie A i B leżą po różnych jej stronach.
Powieszchnia + Odcinek - Czy się przecinają?
No więc tak, jestem gimnazjalistą i trochę nie wiem co jest co w równaniu płaszczyzny
wygląda ono tak: a*x+b*y+c*z+d=0 Z tablic wyczytałem że a,b,c to współrzędne wektora normalnej.
Z tego co napisałeś Crizz domyślam się że f(x,y,z)=a*x+b*y,+c*z+d . Co to jest d? jak wyznaczyć normalną znając współrzędne wierzchołków trójkąta?
wygląda ono tak: a*x+b*y+c*z+d=0 Z tablic wyczytałem że a,b,c to współrzędne wektora normalnej.
Z tego co napisałeś Crizz domyślam się że f(x,y,z)=a*x+b*y,+c*z+d . Co to jest d? jak wyznaczyć normalną znając współrzędne wierzchołków trójkąta?
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Powieszchnia + Odcinek - Czy się przecinają?
d to po prostu wyraz wolny, tak jak c w równaniu \(\displaystyle{ ax+by+c=0}\) prostej na płaszczyźnie.
Dwie płaszczyzny o proporcjonalnych wspołczynnikach przy x,y,z są równoległe (bo ich wektory normalne też są oczywiście równoległe), wtedy od d zależy w pewnym sensie ich wzajemna odległość (tak jak dla dwóch równoległych prostych na płaszczyźnie).
Przykład jak wyznaczyć płaszczyzn przechodzącą przez trzy dane punkty:
Niech \(\displaystyle{ P=(1,2,3),Q=(1,0,1),R=(2,1,0)}\) będą rozważanymi punktami i niech szukana płaszczyzna ma równanie \(\displaystyle{ Ax+By+Cz+D=0}\). Skoro współrzędne punktów P,Q,R mają spełniać to równanie, to:
\(\displaystyle{ \begin{cases} A+2B+3C+D=0 \\ A+C+D=0 \\ 2A+B+D=0 \end{cases}}\)
Wystarczy znaleźć PRZYKŁADOWE rozwiązanie tego układu, np. podstawiając za A jedynkę (jeśli by się okazało, że wtedy układ jest sprzeczny, to wystarczy rozważyć przypadek \(\displaystyle{ A=0}\))
Tu otrzymujemy \(\displaystyle{ A=1,B=-\frac{1}{2},C=\frac{1}{2},D=-\frac{3}{2}}\) (dla wygody, jak już wstawisz do równania płaszczyzny wartości współczynników, możesz je sobie stronami pomnożyć przez 2).
Dwie płaszczyzny o proporcjonalnych wspołczynnikach przy x,y,z są równoległe (bo ich wektory normalne też są oczywiście równoległe), wtedy od d zależy w pewnym sensie ich wzajemna odległość (tak jak dla dwóch równoległych prostych na płaszczyźnie).
Przykład jak wyznaczyć płaszczyzn przechodzącą przez trzy dane punkty:
Niech \(\displaystyle{ P=(1,2,3),Q=(1,0,1),R=(2,1,0)}\) będą rozważanymi punktami i niech szukana płaszczyzna ma równanie \(\displaystyle{ Ax+By+Cz+D=0}\). Skoro współrzędne punktów P,Q,R mają spełniać to równanie, to:
\(\displaystyle{ \begin{cases} A+2B+3C+D=0 \\ A+C+D=0 \\ 2A+B+D=0 \end{cases}}\)
Wystarczy znaleźć PRZYKŁADOWE rozwiązanie tego układu, np. podstawiając za A jedynkę (jeśli by się okazało, że wtedy układ jest sprzeczny, to wystarczy rozważyć przypadek \(\displaystyle{ A=0}\))
Tu otrzymujemy \(\displaystyle{ A=1,B=-\frac{1}{2},C=\frac{1}{2},D=-\frac{3}{2}}\) (dla wygody, jak już wstawisz do równania płaszczyzny wartości współczynników, możesz je sobie stronami pomnożyć przez 2).