Mamy równanie okręgu o postaci:
\(\displaystyle{ x^{2} + y^{2} = 1}\)
i chcemy znaleźć taką parę liczb (x,y), dla których wyrażenie:
\(\displaystyle{ 3x + 4y}\) przyjmuje największą wartość
Czy można to rozwiązać bez znajomości pochodnych ? Jeśli tak to w jaki sposób...
Maksymalna wartość wyrażenia
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Maksymalna wartość wyrażenia
Wątpię, żeby dało się rozwiązać bez pochodnej, ale można trochę przyspieszyć:
Niech \(\displaystyle{ x=sin\alpha,y=cos\alpha}\), wtedy szukamy maksimum funkcji \(\displaystyle{ f(\alpha)=3sin\alpha+4cos\alpha}\)
\(\displaystyle{ f'(x)=3cos\alpha-4sin\alpha}\) i \(\displaystyle{ f'(x)=0}\) dla \(\displaystyle{ \frac{sin\alpha}{cos\alpha}=\frac{3}{4}}\)
Wystarczy zatem znaleźć rozwiązanie dodatnie układu równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2}+y^{2}=1 \\ \frac{x}{y}=\frac{4}{3} \end{cases}}\)
Wychodzi \(\displaystyle{ x=\frac{3}{5},y=\frac{4}{5}}\)
Niech \(\displaystyle{ x=sin\alpha,y=cos\alpha}\), wtedy szukamy maksimum funkcji \(\displaystyle{ f(\alpha)=3sin\alpha+4cos\alpha}\)
\(\displaystyle{ f'(x)=3cos\alpha-4sin\alpha}\) i \(\displaystyle{ f'(x)=0}\) dla \(\displaystyle{ \frac{sin\alpha}{cos\alpha}=\frac{3}{4}}\)
Wystarczy zatem znaleźć rozwiązanie dodatnie układu równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2}+y^{2}=1 \\ \frac{x}{y}=\frac{4}{3} \end{cases}}\)
Wychodzi \(\displaystyle{ x=\frac{3}{5},y=\frac{4}{5}}\)