Równanie płaszczyzny

[doktorlubicz]

Witam, czy ktoś pomoże mi rozwiązać to zadanie?

Napisać równanie płaszczyzny zawierającej prostą
\(\displaystyle{ \frac{x-5}{2}= \frac{y+3}{4}= \frac{z-1}{1}}\) i punkt \(\displaystyle{ Po= (2,3,4)}\)

[sir_matin]

Wektor kierunkowy prostej to \(\displaystyle{ \vec{V}=[2,4,1]}\), punkt należący do prostej to \(\displaystyle{ A=(5,-3,1)}\) , tworzymy drugi wektor \(\displaystyle{ \vec{AP_{0}}=[-3,6,3]}\) , wektory \(\displaystyle{ \vec{V}}\) i \(\displaystyle{ \vec{AP_{0}}}\) nie są współliniowe więc rozpinają tę płaszczyznę.
Równanie parametryczne płaszczyzny ma postać:
\(\displaystyle{ \Pi: \left\{\begin{array}{l} x=2+2s-3t\\y=3+4s+6t\\z=4+s+3t \end{array}}\)
Równanie ogólne:
\(\displaystyle{ \Pi: [x-2,y-3,z-4] \circ([2,4,1] \times [3,6,-3])=0\\
\Pi: 2x-3y+8z-27=0\\}\)

[doktorlubicz]

Hmm... Mam jeszcze drugie rozwiązanie które wysłał mi kolega i jest troche inaczej.
Proszę o pomoc. To zadanie na egzamin



PS. Zamiast iloczyn wektorowy to chodziło mu chyba o iloczyn mieszany..

[sir_matin]

Rozwiązanie jest podobne, oczywiście płaszczyzna jest ta sama, podziel równanie kolegi przez 3...
Natomiast strasznie tam się naliczył niepotrzebnie:
-podstawianie jakiejś zmiennej t jest niepotrzebne, punkt A znajdujemy zerując liczniki w równaniu prostej x-5=0, y+3=0 i z-1=0, w rozwiązaniu kolegi t=0 i stąd A mamy (5,-3,1).
-wektor \(\displaystyle{ \vec{AB}}\) to wektor kierunkowy prostej, można go odczytać z mianowników równania kierunkowego, oczywiście każdy wektor postaci \(\displaystyle{ t\vec{AB}}\) także i nie trzeba liczyc go z dwóch punktów leżących na tej prostej.
-mając dwa wektory niewspółliniowe i punkt możemy skorzystać z iloczynu mieszanego, z którego ja też korzystam, oczywiście iloczyn skalarny jest przemienny więc u mnie jest odwrotnie, a z własności wyznacznika możesz policzyć ten iloczyn mieszany jako wyznacznik takiej macierzy.

[doktorlubicz]

Wielkie dzięki