oblicz promienie okregów stycznych do kąta

[superziom123]

3. Odległość miedzy środkami okręgów stycznych zewnętrznie i stycznych do ramion kąta jest równa 10cm. Odległość srodka mniejszego okręgu od wierzcholka kąta jest rowna 20cm. Oblicz dlugosci promieni tych okregów. [dzial podobienstwo figur] rysunek wyglada m/w tak jak jest opisane 2 okregi sa wpisane w kąt blizej wierzcholka kata jest mneijszy okrag.

[lukasz1804]

Niech \(\displaystyle{ r, R}\) oznaczają promienie okręgów mniejszego i większego odpowiednio.
Zauważmy, że środki obydwu okręgów leżą na dwusiecznej kąta, bowiem z określenia dwusieczna kąta jest zbiorem punktów równo odległych od ramion kąta.
Ponadto promienie okręgów poprowadzonego do ustalonego ramienia kąta są zawarte w prostych równoległych. Stąd i z twierdzenia Talesa wynika, że \(\displaystyle{ \frac{r}{20}=\frac{R}{20+10}}\). Z założenia mamy także \(\displaystyle{ r+R=10}\), gdyż okręgi są styczne zewnętrznie.
Stąd mamy \(\displaystyle{ 2R=3r}\) oraz \(\displaystyle{ 30=3(r+R)=3r+3R=2R+3R=5R}\), czyli \(\displaystyle{ R=6}\) i w konsekwencji \(\displaystyle{ r=10-R=10-6=4}\).

[superziom123]

wielkie dzieki !!