okrąg styczny do osi ox w punkcie a=(-3,0) odcina na dodatniej półosi osi OY cięciwę o długości 8.
znajdź współrzędne środka i promienia okręgu
brakuje mi 3 równania
wykorzystałem fakt ,że a należy do okręgu itrójkąt prostokatny, ale co jeszcze?
okrąg
-
ania555
- Użytkownik
- Posty: 255
- Rejestracja: 4 lut 2009, o 09:41
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 96 razy
okrąg
Postępując podobnie jak w zadaniu z okręgiem i cięciwą z warunków zadania mamy, żw wysokość w powstałym trójkącie równoramiennym opuszczona na podstawę ma długość 3, a zatem z twierdzenia Pitagorasa ramię trójkąta równe promieniowi okręgu ma długość 5.
W konsekwencji środek okręgu może mieć współrzędne (-3,5) lub (-3,-5).
Otrzymujemy stąd równania okręgów postaci \(\displaystyle{ (x+3)^2+(y-5)^2=25}\) lub \(\displaystyle{ (x+3)^2+(y+5)^2=25}\). Punkty wspólne okręgów z osią OX wyznaczamy podstawiając \(\displaystyle{ x=0}\). W pierwszym przypadku mamy \(\displaystyle{ (0,1)}\) oraz \(\displaystyle{ (0,9)}\), a w drugim \(\displaystyle{ (0,-9)}\) oraz \(\displaystyle{ (0,-1)}\)-- 14 lut 2009, o 20:20 --Okrąg jest styczny w punkcie A(-3,0), zatem środek tego okręgu ma współrzędne \(\displaystyle{ S(-3,r)}\), gdzie \(\displaystyle{ r>3}\) - promień (większy od 3, ponieważ przecina oś OY)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=0 \\ (x+3)^2+(y-r)^2=r^2 \end{cases} \\
\begin{cases} x=0 \\ 9+y^2-2ry+r^2=r^2 \end{cases} \\
\begin{cases} x=0 \\ y^2-2ry+9=0 \end{cases} \\
\Delta_y = 4r^2-36 \\
\sqrt{\Delta} = 2\sqrt{r^2-9} \\
y=\frac{2r-2\sqrt{r^2-9}}{2} \vee y=\frac{2r+2\sqrt{r^2-9}}{2} \\
\begin{cases} x=0 \\ y=r-\sqrt{r^2-9} \end{cases} \vee \begin{cases} x=0 \\ y=r+\sqrt{r^2-9} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ (0,r-\sqrt{r^2-9})}\) oraz \(\displaystyle{ (0,r+\sqrt{r^2-9})}\) to punkty w których okrąg przecina oś OY.
\(\displaystyle{ \sqrt{(0-0)^2+(r+\sqrt{r^2-9}-r+\sqrt{r^2-9})^2}=8 \\
\sqrt{4(r^2-9)}=8 \\
4(r^2-9)=64 \\
r^2-9=16 \\
r^2=25 \\
r=5}\)
równanie okręgu: \(\displaystyle{ o(S,r):(x+3)^2+(y-5)^2=25}\)
a)
\(\displaystyle{ S(-3,5)}\)
\(\displaystyle{ r=5}\)
b)
\(\displaystyle{ (0,1)}\) oraz \(\displaystyle{ (0,9)}\)
W konsekwencji środek okręgu może mieć współrzędne (-3,5) lub (-3,-5).
Otrzymujemy stąd równania okręgów postaci \(\displaystyle{ (x+3)^2+(y-5)^2=25}\) lub \(\displaystyle{ (x+3)^2+(y+5)^2=25}\). Punkty wspólne okręgów z osią OX wyznaczamy podstawiając \(\displaystyle{ x=0}\). W pierwszym przypadku mamy \(\displaystyle{ (0,1)}\) oraz \(\displaystyle{ (0,9)}\), a w drugim \(\displaystyle{ (0,-9)}\) oraz \(\displaystyle{ (0,-1)}\)-- 14 lut 2009, o 20:20 --Okrąg jest styczny w punkcie A(-3,0), zatem środek tego okręgu ma współrzędne \(\displaystyle{ S(-3,r)}\), gdzie \(\displaystyle{ r>3}\) - promień (większy od 3, ponieważ przecina oś OY)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=0 \\ (x+3)^2+(y-r)^2=r^2 \end{cases} \\
\begin{cases} x=0 \\ 9+y^2-2ry+r^2=r^2 \end{cases} \\
\begin{cases} x=0 \\ y^2-2ry+9=0 \end{cases} \\
\Delta_y = 4r^2-36 \\
\sqrt{\Delta} = 2\sqrt{r^2-9} \\
y=\frac{2r-2\sqrt{r^2-9}}{2} \vee y=\frac{2r+2\sqrt{r^2-9}}{2} \\
\begin{cases} x=0 \\ y=r-\sqrt{r^2-9} \end{cases} \vee \begin{cases} x=0 \\ y=r+\sqrt{r^2-9} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ (0,r-\sqrt{r^2-9})}\) oraz \(\displaystyle{ (0,r+\sqrt{r^2-9})}\) to punkty w których okrąg przecina oś OY.
\(\displaystyle{ \sqrt{(0-0)^2+(r+\sqrt{r^2-9}-r+\sqrt{r^2-9})^2}=8 \\
\sqrt{4(r^2-9)}=8 \\
4(r^2-9)=64 \\
r^2-9=16 \\
r^2=25 \\
r=5}\)
równanie okręgu: \(\displaystyle{ o(S,r):(x+3)^2+(y-5)^2=25}\)
a)
\(\displaystyle{ S(-3,5)}\)
\(\displaystyle{ r=5}\)
b)
\(\displaystyle{ (0,1)}\) oraz \(\displaystyle{ (0,9)}\)