Zapisz równanie okręgu

mistrzu · Post autor: **mistrzu** » 12 lut 2009, o 20:43

Zapisz równanie okregu symetrzycznego do okręgu \(\displaystyle{ x^{2}+6x+y^{2}-4y+9}\) względem prostej o równaniu \(\displaystyle{ 2x-4y+1=0}\)

sea_of_tears · Post autor: **sea_of_tears** » 12 lut 2009, o 20:58

znajdź środek tego okręgu i majac ten punkt znajdź do niego symetryczny względem podanej prostej to otrzymasz środek nowego okręgu, promień ma tą samą długość

mistrzu · Post autor: **mistrzu** » 12 lut 2009, o 21:02

w jaki sposób to zrobić bo niejestem w tym za dobry

sea_of_tears · Post autor: **sea_of_tears** » 13 lut 2009, o 12:32

a z którym momentem masz problem? proponuję na początek żebyś spróbował wyznaczyć środek okręgu i promień

mistrzu · Post autor: **mistrzu** » 13 lut 2009, o 18:45

móglbym prosic cię o dokładne wytłumaczenie

lukki_173 · Post autor: **lukki_173** » 13 lut 2009, o 19:01

Środek okręgu:
\(\displaystyle{ -2a=6 \Rightarrow a=-3\\
-2b=-4 \Rightarrow b=2 \\
c=9\\
r= \sqrt{a^2+b^2-c}= \sqrt{9+4-9}=2}\)
\(\displaystyle{ S=(-3;2),r=2}\)

marcinn12 · Post autor: **marcinn12** » 13 lut 2009, o 19:26

Czy równanie okregu miało wyglądać w ten sposób?

\(\displaystyle{ x^{2}+6x+y^{2}-4y+9=0}\)
\(\displaystyle{ (x+3)^{2}+(y-2)^{2}=4}\)
\(\displaystyle{ S(-3,2)}\) \(\displaystyle{ r=2}\)

Środek jest symetryczny względem prostej \(\displaystyle{ 2x-4y+1=0}\). Można go wyznaczyć za pomocą wektorów albo bardziej analitycznie. Ja preferuje sposob drugi.

Piszemy prosta prostopadłą przechodzącą przez punkt A. (k)

\(\displaystyle{ k; y=-2x-4}\)

Szukamy punktu wspołnego pomiędzy obydwiema prostymi:

\(\displaystyle{ \begin{cases} y=-2x-4 \\ y= \frac{1}{2}x+ \frac{1}{4} \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ A(- \frac{17}{10};- \frac{3}{5} )}\)

Liczymy odległość (długość) punktu S od A.

\(\displaystyle{ |SA|= \sqrt{(-3+ \frac{17}{10})^{2}+(2+ \frac{3}{5})^{2} } = \sqrt{ \frac{169}{100} + \frac{576}{100} }= \frac{13}{ \sqrt{20} }= \frac{13 \sqrt{20} }{20}= \frac{26 \sqrt{5} }{20} = \frac{13 \sqrt{5} }{10}}\)

I teraz ze wzoru na odległość punktu \(\displaystyle{ S'}\) od prostej \(\displaystyle{ 2x-4y+1=0}\).

\(\displaystyle{ d(S',l)=|SA|}\)
\(\displaystyle{ S'(x,-2x-4)}\)

\(\displaystyle{ \frac{|2*x-4*(-2x-4)+1|}{ \sqrt{20} }=\frac{13 \sqrt{5} }{10}}\)
\(\displaystyle{ |10x+17|=13}\)
\(\displaystyle{ x=- \frac{2}{5}}\)
\(\displaystyle{ y=- \frac{16}{5}}\)
\(\displaystyle{ S'(- \frac{2}{5} ;- \frac{16}{5})}\)

Szukane równanie okręgu: \(\displaystyle{ (x+\frac{2}{5})^{2}+(y+\frac{16}{5})^{2}=4}\)

btw, mogłem się pomylić w obliczeniach

mistrzu · Post autor: **mistrzu** » 13 lut 2009, o 19:48

ok serdeczne dzięki