Zadanie 1
W trójkącie równoramiennym (|AB|=|BC|) dane są: wierzchołek C(-6;2) oraz wektor CD=[-6;4] i AB=[-4;-6], gdzie CD jest wysokością trójkąta poprowadzoną z wierzchołka C. Znajdź równania prostych, w których zawierają się boki tego trójkąta.
Z góry dziękuję
Trójkąt równoramienny
Trójkąt równoramienny
Mając wierzchołek C(-6;2) oraz wektor \(\displaystyle{ \vec{CD} =[-6;4]}\), możemy obliczyć wierzchołek \(\displaystyle{ D(x _{D} ,y _{D} )}\):
\(\displaystyle{ \vec{CD}=[x _{D}-x _{C} ,y _{D}-y _{C} ] =[x _{D}+6 ,y _{D}-2 ]=[-6,4]}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x _{D}+6=-6 \\ y _{D}-2=4 \end{cases}}\)
Czyli
\(\displaystyle{ \begin{cases} x _{D}=-12 \\ y _{D}=6 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ D=(-12,6)}\)
Następnie wykorzystując informację, że trójkąt jest równoramienny (a co za tym idzie wysokość dzieli podstawę na pół):
\(\displaystyle{ \vec{AD}= \vec{DB} = \frac{1}{2} \vec{AB}}\)
Najpierw wykorzystując \(\displaystyle{ \vec{AD}= \frac{1}{2} \vec{AB}}\) i punkt \(\displaystyle{ D=(-12,6)}\) wyliczamy \(\displaystyle{ A=(-10,9)}\).
Później wykorzystując \(\displaystyle{ \vec{DB} = \frac{1}{2} \vec{AB}}\) i punkt \(\displaystyle{ D=(-12,6)}\) wyliczamy \(\displaystyle{ B=(-14,3)}\).
Mamy już wszystkie punkty, teraz pozostaje wyznaczyć równania prostych.
Dla boku |AB| wzór prostej przechodzącej przez punkty A i B wygląda następująco:
\(\displaystyle{ y-y _{A} = \frac{x-x _{A} }{x _{B}-x _{A} } (y _{B} -y _{A} )}\)
Podstawiając współrzędne otrzymujemy równanie
\(\displaystyle{ y= \frac{3}{2}x+24}\)
Dla pozostałych boków analogicznie.
\(\displaystyle{ \vec{CD}=[x _{D}-x _{C} ,y _{D}-y _{C} ] =[x _{D}+6 ,y _{D}-2 ]=[-6,4]}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x _{D}+6=-6 \\ y _{D}-2=4 \end{cases}}\)
Czyli
\(\displaystyle{ \begin{cases} x _{D}=-12 \\ y _{D}=6 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ D=(-12,6)}\)
Następnie wykorzystując informację, że trójkąt jest równoramienny (a co za tym idzie wysokość dzieli podstawę na pół):
\(\displaystyle{ \vec{AD}= \vec{DB} = \frac{1}{2} \vec{AB}}\)
Najpierw wykorzystując \(\displaystyle{ \vec{AD}= \frac{1}{2} \vec{AB}}\) i punkt \(\displaystyle{ D=(-12,6)}\) wyliczamy \(\displaystyle{ A=(-10,9)}\).
Później wykorzystując \(\displaystyle{ \vec{DB} = \frac{1}{2} \vec{AB}}\) i punkt \(\displaystyle{ D=(-12,6)}\) wyliczamy \(\displaystyle{ B=(-14,3)}\).
Mamy już wszystkie punkty, teraz pozostaje wyznaczyć równania prostych.
Dla boku |AB| wzór prostej przechodzącej przez punkty A i B wygląda następująco:
\(\displaystyle{ y-y _{A} = \frac{x-x _{A} }{x _{B}-x _{A} } (y _{B} -y _{A} )}\)
Podstawiając współrzędne otrzymujemy równanie
\(\displaystyle{ y= \frac{3}{2}x+24}\)
Dla pozostałych boków analogicznie.