Zadanie 1
Punkt K(2,0) jest środkiem boku AB, a punkt L(0,4) jest środkiem boku BC trójkąta równobocznego ABC. Znajdź współrzędne wierzchołków A i B tego trójkąta wiedząc, że obie współrzędne wierzchołka B są dodatnie.
Z góry dziękuję
Odcinek AB
-
Matematyca
- Użytkownik
- Posty: 30
- Rejestracja: 7 lut 2009, o 15:15
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 4 razy
Odcinek AB
To zadanie można rozwiązac na kilka sposobów i ten chyba nie jest najszybszy.
Wyznaczasz równanie prostej przechodzącej przez punkty LK. Na gotowo masz \(\displaystyle{ y=-2x+4}\)
Obliczasz odległośc między punktami L i K: \(\displaystyle{ \left|LK \right|= \sqrt{2^2+4^2}= 2\sqrt{5}}\).
Zaznasz punkt D, który jest środkiem odcinka LK. Trójkąt LKB będzie równoboczny, więc odległośc \(\displaystyle{ DB=d= \frac{2 \sqrt{5} \sqrt{3} }{2}= \sqrt{15}}\)
Podstawiasz do wzoru na odległośc punktu B od prostej LK.
\(\displaystyle{ d= \frac{ \left| 2 x_{b} +y_{b} -4\right|}{ \sqrt{2^2 +1^2} }\\
5 \sqrt{3}=2x_{b}+y_{b}-4 \vee 5 \sqrt{3}=-2x_{b}-y_{b}+4\\
y_{b}=-2x_{b}+4-5 \sqrt{3} \vee y_{b}=-2x_{b}+4+5 \sqrt{3}}\)
Obliczamy równanie prostej prostopadłej do prostej LK przechodzącej przez punkt D i B. D ze wzoru na punkt będacy środkiem odcinaka ma współrzędne (1,2). Prosta po obliczeniu ma postac
\(\displaystyle{ y_{b}= \frac{1}{2}x_{b} + \frac{3}{2}}\)
Mamy teraz do rozwiązania dwa układy równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} y_{b}=-2x_{b}+4-5 \sqrt{3}\\ y_{b}= \frac{1}{2}x_{b} + \frac{3}{2} \end{cases} \vee \begin{cases} y_{b}=-2x_{b}+4+5\sqrt{3} \\ y_{b}= \frac{1}{2}x_{b} + \frac{3}{2} \end{cases}}\)
Wybierasz dwie dodatnie wartości.
Wyznaczasz równanie prostej przechodzącej przez punkty LK. Na gotowo masz \(\displaystyle{ y=-2x+4}\)
Obliczasz odległośc między punktami L i K: \(\displaystyle{ \left|LK \right|= \sqrt{2^2+4^2}= 2\sqrt{5}}\).
Zaznasz punkt D, który jest środkiem odcinka LK. Trójkąt LKB będzie równoboczny, więc odległośc \(\displaystyle{ DB=d= \frac{2 \sqrt{5} \sqrt{3} }{2}= \sqrt{15}}\)
Podstawiasz do wzoru na odległośc punktu B od prostej LK.
\(\displaystyle{ d= \frac{ \left| 2 x_{b} +y_{b} -4\right|}{ \sqrt{2^2 +1^2} }\\
5 \sqrt{3}=2x_{b}+y_{b}-4 \vee 5 \sqrt{3}=-2x_{b}-y_{b}+4\\
y_{b}=-2x_{b}+4-5 \sqrt{3} \vee y_{b}=-2x_{b}+4+5 \sqrt{3}}\)
Obliczamy równanie prostej prostopadłej do prostej LK przechodzącej przez punkt D i B. D ze wzoru na punkt będacy środkiem odcinaka ma współrzędne (1,2). Prosta po obliczeniu ma postac
\(\displaystyle{ y_{b}= \frac{1}{2}x_{b} + \frac{3}{2}}\)
Mamy teraz do rozwiązania dwa układy równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} y_{b}=-2x_{b}+4-5 \sqrt{3}\\ y_{b}= \frac{1}{2}x_{b} + \frac{3}{2} \end{cases} \vee \begin{cases} y_{b}=-2x_{b}+4+5\sqrt{3} \\ y_{b}= \frac{1}{2}x_{b} + \frac{3}{2} \end{cases}}\)
Wybierasz dwie dodatnie wartości.