1) Narysować na jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji y=sinx i y=cosx dla x \(\displaystyle{ \in}\) [0,2\(\displaystyle{ pi}\)], a następnie obliczyć pole figury ograniczonej tymi wykresami.
2) Obliczyć pole figury ograniczonej wykresami \(\displaystyle{ x^{2}}\) + 2x + 3 i prostą x-y+5=0
Stoję w miejscu, robię sobie rysuneczki, miejsca zerowe itp... ale jak z tego obliczyć pola?
Pole figury ograniczonej wykresami...
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Pole figury ograniczonej wykresami...
2)
Wzór funkcji liniowej: \(\displaystyle{ y=x+5}\)
Punkty wspólne:
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=x^{2}+2x+3 \\ x-y+5=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ A=(-2,3),B=(1,6)}\)
Żeby obliczyć pole szukanej figury, wystarczy od pola pod wykresem prostej na przedziale \(\displaystyle{ (-2,1)}\) odjąć pole pod wykresem paraboli na tym samym przedziale.
\(\displaystyle{ S= \int_{-2}^{1}(x+5-(x^{2}+2x+3))dx=\left[-\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}+2x\right]^{1}_{-2}=\frac{7}{6}+\frac{10}{3}=\frac{9}{2}}\)
-- 9 lutego 2009, 21:54 --
1) jest trudniejsze, bo wykresy leżą raz nad, a raz pod osią Ox, a ponadto jeden wykres raz jest na górze, a raz na dole
Po pierwsze podnosisz oba wykresy wysoko do góry, tzn rozważasz wykresy funkcji \(\displaystyle{ f(x)=sinx+1,g(x)=cosx+1}\). Teraz już oba wykresy leżą nad osią.
Teraz:
dla \(\displaystyle{ x\in (0,\frac{\pi}{4})}\) wykres g leży nad wykresem f
dla \(\displaystyle{ x\in (\frac{\pi}4,\frac{5\pi}{4})}\) wykres f leży nad wykresem g itd.
Teraz albo liczysz te wszystkie okropne całki po kolei, albo zauważasz sprytnie, że tak naprawdę masz policzyć pole dwóch "listków", takich jak między \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\) a \(\displaystyle{ \frac{5\pi}{4}}\).
Szukane pole wynosi zatem \(\displaystyle{ S=2 \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}}(sinx-cosx)dx=2\left[-cosx-sinx\right]^{\frac{5\pi}{4}}_{\frac{\pi}{4}}=4\sqrt{2}}\)
Wzór funkcji liniowej: \(\displaystyle{ y=x+5}\)
Punkty wspólne:
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=x^{2}+2x+3 \\ x-y+5=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ A=(-2,3),B=(1,6)}\)
Żeby obliczyć pole szukanej figury, wystarczy od pola pod wykresem prostej na przedziale \(\displaystyle{ (-2,1)}\) odjąć pole pod wykresem paraboli na tym samym przedziale.
\(\displaystyle{ S= \int_{-2}^{1}(x+5-(x^{2}+2x+3))dx=\left[-\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}+2x\right]^{1}_{-2}=\frac{7}{6}+\frac{10}{3}=\frac{9}{2}}\)
-- 9 lutego 2009, 21:54 --
1) jest trudniejsze, bo wykresy leżą raz nad, a raz pod osią Ox, a ponadto jeden wykres raz jest na górze, a raz na dole
Po pierwsze podnosisz oba wykresy wysoko do góry, tzn rozważasz wykresy funkcji \(\displaystyle{ f(x)=sinx+1,g(x)=cosx+1}\). Teraz już oba wykresy leżą nad osią.
Teraz:
dla \(\displaystyle{ x\in (0,\frac{\pi}{4})}\) wykres g leży nad wykresem f
dla \(\displaystyle{ x\in (\frac{\pi}4,\frac{5\pi}{4})}\) wykres f leży nad wykresem g itd.
Teraz albo liczysz te wszystkie okropne całki po kolei, albo zauważasz sprytnie, że tak naprawdę masz policzyć pole dwóch "listków", takich jak między \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\) a \(\displaystyle{ \frac{5\pi}{4}}\).
Szukane pole wynosi zatem \(\displaystyle{ S=2 \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}}(sinx-cosx)dx=2\left[-cosx-sinx\right]^{\frac{5\pi}{4}}_{\frac{\pi}{4}}=4\sqrt{2}}\)
Ostatnio zmieniony 15 lut 2009, o 21:42 przez Crizz, łącznie zmieniany 1 raz.