punkt C

[ania555]

Dane są punkty A(1,1) i B(5,3). Wyznacz punkt C na osi OY, który jest równo odległy od punktów A i B.

[JankoS]

\(\displaystyle{ C=(0,x_c).}\)
\(\displaystyle{ AC^2=(-1)^2+(y_c-1)^2, \ BC^2=(-5)^2+(y_c-3)^2,\ AC^2=BC^2.}\)

[ania555]

A skąd wiesz, że \(\displaystyle{ AC^{2}}\) = \(\displaystyle{ BC^{2}}\)??
A mógłbys mi obliczyć to????

[marcinn12]

\(\displaystyle{ d(A;C)=d(B;C)}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{1^{2}+(1-y_{c})^{2}} = \sqrt{5^{2}+(3-y_{c})^{2}}//^{2}}\)
\(\displaystyle{ 1^{2}+(1-y_{c})^{2}=5^{2}+(3-y_{c})^{2}}\)
\(\displaystyle{ 1+1-2y_{c}+y_{c}^{2}=25+9-6y_{c}+y_{c}^{2}}\)
\(\displaystyle{ 4y_{c}=32}\)
\(\displaystyle{ y_{c}=8}\)
\(\displaystyle{ C(0,8)}\)

[JankoS]

A skąd wiesz, że \(\displaystyle{ AC^{2}}\) = \(\displaystyle{ BC^{2}}\)??
A mógłbys mi obliczyć to????

Jeżeli, z warunków zadania AC = BC (gdzie XY oznacza odległość punktów x, Y), to z własności funkcji kwadratowej \(\displaystyle{ AC^2 =BC^2.}\) Tutaj z racji nieujemności odległości wynikanie zachodzi też w drugą stronę, czyli \(\displaystyle{ AC=BC \Leftrightarrow AC^2 =BC^2.}\)
Liczył nie będę, bo już policzone.

[ania555]

Możesz mi obliczyć pole trójkata ABC???

[marcinn12]

Jest z tym zabawy troche ...

1) Równanie prostej AB
2) Liczenie odległosci punktu C od prostej AB
3) Długość odcinka AB
3) Dopiero pole

Lub:
... haslo.html
I informacje o trójkącie, jest tam wzór który wykorzystuje 3 wierzchołki trókata

[ania555]

No właśnie gotowego wzoru nie mogę użyć, obliczyłam równanie prostej AB: y= \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)a + \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), tylko nie wiem jak obliczyć tą odległość? i dł odcinka AB coś mi nie wychodzi

[marcinn12]

Kiedys chyba podawałem Ci linka do tego wzoru: ... ode22.html

Równanie prostej AB, ma postać: \(\displaystyle{ y= \frac{1}{2} x+ \frac{1}{2}}\)
Postać ogólna: \(\displaystyle{ AB; x-2y+1=0}\)
Długość odcinka: \(\displaystyle{ |AB|= \sqrt{(5-1)^{2}+(3-1)^{2}}=2 \sqrt{5}}\)

\(\displaystyle{ d(C,AB)=h}\)
\(\displaystyle{ \frac{|0*1-2*8+1|}{ \sqrt{5} } =h}\)
\(\displaystyle{ h= \frac{15}{ \sqrt{5} }}\)
\(\displaystyle{ h=\frac{15 \sqrt{5} }{ 5 }}\)

\(\displaystyle{ P= \frac{1}{2} |AB|*h}\)
\(\displaystyle{ P= \frac{1}{2}*2 \sqrt{5}*\frac{15 \sqrt{5} }{ 5 }}\)
\(\displaystyle{ P=15}\)

Mam nadzieję, że się nie machnąłem w obliczeniach.

[ania555]

dzieki

[JankoS]

Trójkąt jest równoramienny więc wysokość opuszczoną na podstawę AB jest środkową CS, gdzie \(\displaystyle{ S=(\frac{x_a+x_b}{2},\frac{y_a+y_b}{2}.}\)

[kris706]

Można to też policzyć ze wzoru wektorowego na pole trójkąta. Chyba jest najłatwiejszy. Więc wzór to P=\(\displaystyle{ \frac{1}{2}*| v_{x} * u_{y} - v_{y} *u _{x} |}\). Podstawiajac otrzymujemy, że \(\displaystyle{ 6= \frac{1}{2}*|(xc-1)*4 - (yc+1)*2|}\), co daje\(\displaystyle{ 6=|2xc-2 - yc+1|}\), wiemy, z prostej na której ma leżeć punkt C, że\(\displaystyle{ y=x+3}\), więc podstawiamy i otrzymujemy \(\displaystyle{ 6=|2xc-2-xc-4|}\), co daje\(\displaystyle{ 6=|xc-6|}\), rozwiązujemy proste równanie z wartością bezwględną i otrzymujemy dwa wyniki. \(\displaystyle{ C=(12,15) lub C=(0,3)}\)