prosta i punkt

[biedroo]

Prosta k przechodzi przez punkt A=(3,2) i przecina dodatnie półosie układu współrzędnych w takich punktach, że iloczyn ich odległości od punktu (0,0) wynosi 25. Znajdź równanie prostej k.

odp.x+y-5=0 lub 4x+9y-30=0

[sea_of_tears]

wiemy, że przechodzi przez jeden punkt, zatem skorzystam z równania prostej przechodzącej przez jeden punkt :
\(\displaystyle{ y-y_1=a(x-x_1)\newline
\newline
y-2=a(x-3)\newline
y-2=ax-3a\newline
y=ax+(2-3a)}\)
zatem należy jeszcze tylko znaleźć "a"

kolejną informacją jest to, że przecina dodatnie półosie, zatem napewno funkcja ta musi być malejąca, czyli \(\displaystyle{ a<0}\)
obliczę punkty przecięcia, z osią Ox :
\(\displaystyle{ y=0\newline
0=ax+2-3a\newline
-ax=2-3a\newline
ax=3a-2\newline
x=\frac{3a-2}{a}\newline
A(\frac{3a-2}{a},0)}\)
teraz z osią Oy :
\(\displaystyle{ x=0\newline
y=a\cdot 0+2-3a\newline
y=2-3a\newline
B(0, 2-3a)}\)
odległość punkt A od (0,0) wynosi \(\displaystyle{ \frac{3a-2}{a}}\)
a odległość punkt B od (0,0) wynosi \(\displaystyle{ 2-3a}\)
iloczyn tych odległości wynosi 25 zatem mogę zapisać :
\(\displaystyle{ \frac{3a-2}{a}\cdot (2-3a)=25\newline
-\frac{2-3a}{a}\cdot (2-3a)=25\newline
(2-3a)^2 = -25a\newline
4-12a+9a^2=-25a\newline
9a^2+13a+4=0\newline
\Delta=25\newline
\sqrt{\Delta}=5\newline
a_1=\frac{-13-5}{18}=-1\newline
a_2=\frac{-13+5}{18}=-\frac{4}{9}\newline}\)
zatem będą dwa takie równania :
\(\displaystyle{ y=-x+5 \vee y=-\frac{4}{9}+\frac{10}{3}}\)