Witam, wykazać, że układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2}+ y^{2}+ z^{2}-4x+4z-1=0 \\ x+y+z-3=0 \end{cases}}\)
opisuje okrąg, wyznaczyć jego promień oraz środek (tego okręgu).
mam problem z samym wyznaczniem położenia środka tego okręgu, po promień znając środek to z pitagorasa już można policzyć, licząc wcześniej odległość środka sfery od niego ze wzoru.
Przecięcie sfery przez płąszczyznę
-
JankoS
- Użytkownik
- Posty: 3101
- Rejestracja: 21 lis 2007, o 10:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zarów
- Pomógł: 635 razy
Przecięcie sfery przez płąszczyznę
\(\displaystyle{ ...= x^{2}-4x+4-4+ y^{2}+ z^{2}+4z+4-4-1=0 \Leftrightarrow (x-2)^2+y^2+(z+2)^2=3^2.}\)
Okrąg ma środek (-2,0,2) i promień 3.
Okrąg ma środek (-2,0,2) i promień 3.
-
JankoS
- Użytkownik
- Posty: 3101
- Rejestracja: 21 lis 2007, o 10:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zarów
- Pomógł: 635 razy
Przecięcie sfery przez płąszczyznę
Ze wzoru na odległość d punktu (a,b,c) od płasaczyzny Ax + By +Cz +D = 0
\(\displaystyle{ d=\frac{|Aa+Bb+Cc+D|}{ \sqrt{A^2+b^2+C^2}}=\frac{|-2+2-3|}{ \sqrt{3}}= \sqrt{3}.}\)
Odległość ta jest mniejsza od promienia R sfery, więc płasczyzna ma ze sferą wspólny okrąg o promieniu \(\displaystyle{ r^2=R^2-d^2=6.}\).
Oznaczam S(a', b', c') środek okręgu. Wektor (a'+2, b',c-2) jest równoległy do wektora (1,1,1), więc (a'+2, b',c-2)=(k,k,k), gdzie \(\displaystyle{ k \neq 0.}\). stąd i ze wzoru na długość weltora wyznaczam k, a następnie współrzędne sszukanego środka.
\(\displaystyle{ d=\frac{|Aa+Bb+Cc+D|}{ \sqrt{A^2+b^2+C^2}}=\frac{|-2+2-3|}{ \sqrt{3}}= \sqrt{3}.}\)
Odległość ta jest mniejsza od promienia R sfery, więc płasczyzna ma ze sferą wspólny okrąg o promieniu \(\displaystyle{ r^2=R^2-d^2=6.}\).
Oznaczam S(a', b', c') środek okręgu. Wektor (a'+2, b',c-2) jest równoległy do wektora (1,1,1), więc (a'+2, b',c-2)=(k,k,k), gdzie \(\displaystyle{ k \neq 0.}\). stąd i ze wzoru na długość weltora wyznaczam k, a następnie współrzędne sszukanego środka.