1. Punkty A(0;-5), B(4;3), C(-1;3) są kolejnymi wierzchołkami trapezu równoramiennego ABCD (AB||CD). Oblicz współrzędne wierzchołka D oraz pole P tego trapezu.
2. Spośród trójkątów o wierzchołkach A(m-2;m-2), B(m+2;-4), C(3;-m) wybierz ten, który ma kąt prosty przy wierzchołku C i pole równe 6.
Trapez i trójkąt
- marcinn12
- Użytkownik
- Posty: 882
- Rejestracja: 23 sty 2007, o 15:06
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 61 razy
- Pomógł: 193 razy
Trapez i trójkąt
1)
Na obecną chwilę mam takie rozwiązanie w głowie.
Rysujesz przekątna trapezu AC, wyznaczasz środek tej przekątnej, a następnie liczysz odległość tego środka od punktu B. Możesz również wyznaczyć równanie prostej BD. Poźniej ze wzoru na odległość.
Na obecną chwilę mam takie rozwiązanie w głowie.
Rysujesz przekątna trapezu AC, wyznaczasz środek tej przekątnej, a następnie liczysz odległość tego środka od punktu B. Możesz również wyznaczyć równanie prostej BD. Poźniej ze wzoru na odległość.
- marcinn12
- Użytkownik
- Posty: 882
- Rejestracja: 23 sty 2007, o 15:06
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 61 razy
- Pomógł: 193 razy
Trapez i trójkąt
Zadanie 1
Wpadłem też troche na inny pomysł, Oólnie analityczna jest Fee bo jest dużo liczenia. No to lecimy z koksem ;D
Rysunek do zadania:
Wyznaczmy najpierw równanie prostej AB (oznaczmy ją jako l)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3=4a+b \\ -5=b \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ l; y=2x-5}\)
Druga prosta to CD (oznaczmy ją jako k), ona jest równoległa do prostej AB (l) więc ma taki sam współczynniuk kierunkowy. Dodatkowo wiemy, że przechodzi przez punkt C(-1,3).
\(\displaystyle{ a_{k}=2}\)
\(\displaystyle{ 3=-2+b}\)
\(\displaystyle{ b=5}\)
\(\displaystyle{ k; y=2x+5}\)
W tym momencie mamy prowizoryczne współrzędne punktu D(a,2a+5).
\(\displaystyle{ |BC|=|AD|}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{5^{2}} = \sqrt{a^{2}+(2a+10)^{2}} //^{2}}\)
\(\displaystyle{ 25=a^{2}+4a^{2}+40a+100}\)
\(\displaystyle{ a^{2}+8a+15=0}\)
\(\displaystyle{ (a+5)(a+3)=0}\)
\(\displaystyle{ a=-5}\) lub \(\displaystyle{ a=-3}\)
\(\displaystyle{ D_{2}=(-5,-5)}\) lub \(\displaystyle{ D_{1}=(-3,-1)}\)
No to mamy wierzchołki, teraz czas na pole.
\(\displaystyle{ d(C,l)=h}\)
\(\displaystyle{ C(-1,3)}\)
\(\displaystyle{ l;y-2x+5=0}\)
\(\displaystyle{ h= \frac{|-2*(-1)+3+5|}{ \sqrt{5} } =2 \sqrt{5}}\)
\(\displaystyle{ |AB|= \sqrt{(-4)^{2}+(-8)^{2}}=4 \sqrt{5}}\)
\(\displaystyle{ |D_{1}C|= \sqrt{(-2)^{2}+(-4)^{2}}=2 \sqrt{5}}\)
\(\displaystyle{ P_{ABCD_{1}}= \frac{|D_{1}C|+|AB|}{2} *h=30}\)
\(\displaystyle{ |CD_{2}|=4 \sqrt{5}}\)
\(\displaystyle{ P_{ABCD_{2}}=40}\)
Zadanie 2
\(\displaystyle{ A=(m-2;m-2)}\)
\(\displaystyle{ B=(m+2,-4)}\)
\(\displaystyle{ C=(3,-m)}\)
\(\displaystyle{ \vec{CA}=[m-5;2m-2]}\)
\(\displaystyle{ \vec{CB}=[m-1;m-4]}\)
\(\displaystyle{ \vec{CA} \perp \vec{CB}}\)
\(\displaystyle{ \vec{CA} \circ \vec{CB}=0}\)
\(\displaystyle{ (m-5)(m-1)+(2m-2)(m-4)=0}\)
Dodatkowo pole musi byc równe 6 więc, otrzymujesz układ równań z dwoma warunkami:
\(\displaystyle{ \begin{cases} (m-5)(m-1)+(2m-2)(m-4)=0 \\ \frac{1}{2} |(m-5)(m-4)-(2m-2)(m-1)|=6 \end{cases}}\)
I rozwiąż...
Wpadłem też troche na inny pomysł, Oólnie analityczna jest Fee bo jest dużo liczenia. No to lecimy z koksem ;D
Rysunek do zadania:
Wyznaczmy najpierw równanie prostej AB (oznaczmy ją jako l)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3=4a+b \\ -5=b \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ l; y=2x-5}\)
Druga prosta to CD (oznaczmy ją jako k), ona jest równoległa do prostej AB (l) więc ma taki sam współczynniuk kierunkowy. Dodatkowo wiemy, że przechodzi przez punkt C(-1,3).
\(\displaystyle{ a_{k}=2}\)
\(\displaystyle{ 3=-2+b}\)
\(\displaystyle{ b=5}\)
\(\displaystyle{ k; y=2x+5}\)
W tym momencie mamy prowizoryczne współrzędne punktu D(a,2a+5).
\(\displaystyle{ |BC|=|AD|}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{5^{2}} = \sqrt{a^{2}+(2a+10)^{2}} //^{2}}\)
\(\displaystyle{ 25=a^{2}+4a^{2}+40a+100}\)
\(\displaystyle{ a^{2}+8a+15=0}\)
\(\displaystyle{ (a+5)(a+3)=0}\)
\(\displaystyle{ a=-5}\) lub \(\displaystyle{ a=-3}\)
\(\displaystyle{ D_{2}=(-5,-5)}\) lub \(\displaystyle{ D_{1}=(-3,-1)}\)
No to mamy wierzchołki, teraz czas na pole.
\(\displaystyle{ d(C,l)=h}\)
\(\displaystyle{ C(-1,3)}\)
\(\displaystyle{ l;y-2x+5=0}\)
\(\displaystyle{ h= \frac{|-2*(-1)+3+5|}{ \sqrt{5} } =2 \sqrt{5}}\)
\(\displaystyle{ |AB|= \sqrt{(-4)^{2}+(-8)^{2}}=4 \sqrt{5}}\)
\(\displaystyle{ |D_{1}C|= \sqrt{(-2)^{2}+(-4)^{2}}=2 \sqrt{5}}\)
\(\displaystyle{ P_{ABCD_{1}}= \frac{|D_{1}C|+|AB|}{2} *h=30}\)
\(\displaystyle{ |CD_{2}|=4 \sqrt{5}}\)
\(\displaystyle{ P_{ABCD_{2}}=40}\)
Zadanie 2
\(\displaystyle{ A=(m-2;m-2)}\)
\(\displaystyle{ B=(m+2,-4)}\)
\(\displaystyle{ C=(3,-m)}\)
\(\displaystyle{ \vec{CA}=[m-5;2m-2]}\)
\(\displaystyle{ \vec{CB}=[m-1;m-4]}\)
\(\displaystyle{ \vec{CA} \perp \vec{CB}}\)
\(\displaystyle{ \vec{CA} \circ \vec{CB}=0}\)
\(\displaystyle{ (m-5)(m-1)+(2m-2)(m-4)=0}\)
Dodatkowo pole musi byc równe 6 więc, otrzymujesz układ równań z dwoma warunkami:
\(\displaystyle{ \begin{cases} (m-5)(m-1)+(2m-2)(m-4)=0 \\ \frac{1}{2} |(m-5)(m-4)-(2m-2)(m-1)|=6 \end{cases}}\)
I rozwiąż...