Trójkąt i okrąg

[krzysiu13]

Zadanie 1

Dane są punkty A(1;0) oraz B(5;2). Na prostej równoległej do prostej AB i przechodzącej przez punkt P(4;4) znajdź punkt C, równoodległy od punktów A i B. Czy trójkąt ABC jest prostokątny?

Z góry dziękuję

[Crizz]

Równanie prostej AB:
\(\displaystyle{ y=\frac{1}{2}(x-1)}\)
\(\displaystyle{ y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}}\)

Wszystkie proste równoległe do prostej AB opisuje równanie:
\(\displaystyle{ y=\frac{1}{2}x+c ,c\in \Re}\)
Szukamy takiej prostej, która przechodzi przez punkt P; podstawiając do równania współrzędne P, otrzymujemy \(\displaystyle{ c=2}\).

Odległość dowolnego punktu \(\displaystyle{ (x,y)}\) od punktu A wyraża się wzorem \(\displaystyle{ \sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}}\)
Odległość dowolnego punktu \(\displaystyle{ (x,y)}\) od punktu B wyraża się wzorem \(\displaystyle{ \sqrt{(x-5)^{2}+(y-2)^{2}}}\)

Współrzędne punktu równoodległego od A i B spełniają zatem równanie:
\(\displaystyle{ \sqrt{(x-5)^{2}+(y-2)^{2}}=\sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}}\)
\(\displaystyle{ (x-5)^{2}+(y-2)^{2}=(x-1)^{2}+y^{2}}\)
\(\displaystyle{ 24-8x=4y-4}\)
\(\displaystyle{ 6-2x=y-1}\)

Szukanym punktem jest punkt, którego współrzędne spełniają układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 6-2x=y-1 \\ y=\frac{1}{2}x+2 \end{cases}}\)

odp. \(\displaystyle{ \left(2,3\right)}\)

Sprawdź jeszcze obliczenia.-- 4 lutego 2009, 17:18 --Zeby sprawdzić, czy trójkąt ABC jest prostokątny, możesz np. obliczyć kwadraty długości jego boków:
\(\displaystyle{ |AB|^{2}=32}\)
\(\displaystyle{ |BC|^{2}=10}\)
\(\displaystyle{ |AC|^{2}=10}\)
Skoro \(\displaystyle{ |AB|^{2} \neq |BC|^{2}+|AC|^{2}}\), to trójkąt ABC nie jest prostokątny.

[krzysiu13]

Dzięki Nie jestem pewien, ale wydaje mi się, że długość \(\displaystyle{ |AB|^{2}}\)=20, a nie 32, ale możliwe, że się gdzieś pomyliłem w obliczeniach

[Crizz]

Rzeczywiście.