Zadanie 1
Znajdź w trójkącie ABC o wierzchołkach A(2;4), B(5;-4) C(4;6) równania dwusiecznych kątów wewnętrznych tego trójkąta i punkt ich przecięcia.
Z góry dziękuję
Dwusieczne kątów
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Dwusieczne kątów
Wyznaczasz równania prostych zawierających boki trójkąta. Załóżmy, że:
\(\displaystyle{ AB^{\leftrightarrow}:Ax+By+C=0}\)
\(\displaystyle{ BC^{\leftrightarrow}:Dx+Ey+F=0}\)
Korzystasz z tego, że dwusieczna kąta to zbiór punktów równo odległych od ramion kąta, zatem dla współrzędnych punktów szukanej dwusiecznej kąta ABC zachodzi:
\(\displaystyle{ \frac{|Ax+By+C|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}=\frac{|Dx+Ey+F|}{\sqrt{D^{2}+E^{2}}}}\)
Opuszczasz moduły po obydwu stronach raz bez zmiany znaków, a raz ze zmianą znaku jednego z nich, otrzymując równania dwusiecznych dwóch kątów, jakie tworzą ze sobą proste AB i BC. Jedno z nich jest szukanym równaniem dwusiecznej kąta trójkąta ABC.
Sprawdzenie, którego z otrzymanych równań szukasz jest najłatwiejsze na rysunku, chociaż można to zrobić bez rysunku, np. porównując stosunek współczynnika przy x do współczynnika przy y (powinien się zawierać między \(\displaystyle{ \frac{A}{B}}\) a \(\displaystyle{ \frac{D}{E}}\))
Najłatwiej znaleźć równania prostych AB, BC, CA, korzystając ze wzoru na równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty \(\displaystyle{ (x_{1},y_{1})(x_{2},y_{2})}\):
\(\displaystyle{ y-y_{1}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}(x-x_{1})}\).
\(\displaystyle{ AB^{\leftrightarrow}:Ax+By+C=0}\)
\(\displaystyle{ BC^{\leftrightarrow}:Dx+Ey+F=0}\)
Korzystasz z tego, że dwusieczna kąta to zbiór punktów równo odległych od ramion kąta, zatem dla współrzędnych punktów szukanej dwusiecznej kąta ABC zachodzi:
\(\displaystyle{ \frac{|Ax+By+C|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}=\frac{|Dx+Ey+F|}{\sqrt{D^{2}+E^{2}}}}\)
Opuszczasz moduły po obydwu stronach raz bez zmiany znaków, a raz ze zmianą znaku jednego z nich, otrzymując równania dwusiecznych dwóch kątów, jakie tworzą ze sobą proste AB i BC. Jedno z nich jest szukanym równaniem dwusiecznej kąta trójkąta ABC.
Sprawdzenie, którego z otrzymanych równań szukasz jest najłatwiejsze na rysunku, chociaż można to zrobić bez rysunku, np. porównując stosunek współczynnika przy x do współczynnika przy y (powinien się zawierać między \(\displaystyle{ \frac{A}{B}}\) a \(\displaystyle{ \frac{D}{E}}\))
Najłatwiej znaleźć równania prostych AB, BC, CA, korzystając ze wzoru na równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty \(\displaystyle{ (x_{1},y_{1})(x_{2},y_{2})}\):
\(\displaystyle{ y-y_{1}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}(x-x_{1})}\).