Kilka zadań z geometrii analitycznej

grzes1000 · Post autor: **grzes1000** » 18 gru 2005, o 14:53

Witam wszystkich na forum. Chciałbym was bardzo poprosić o pomoc w rozwiązaniu poniższych zadań. Nie muszą być wszystkie rozwiązane. Po prostu jeśli wiecie jak jakieś rozwiazać to napiszcie. Z góry wam dziekuję i pozdrawiam. A oto zadanka:

1) Dany jest punkt A=(5,8). Wyznacz współrzędne punktu B, wiedząc , że punkt S=(-1,-3) jest środkiem odcinka AB.

2) Znajdź współrzędne punktów A,B leżących na prostej y= -x , jeśli odcinek AB ma długość \(\displaystyle{ 10 sqrt2}\), a jego środkiem jest punkt S=(2,-2).

3) Dane są punkty A=(1,-1),B=(3,2),C=(-1,3), oraz K=(-3,1),L=(-1,-2),M=(1,2). Czy trójkąt ABC i trójkąt KLM są przystające?

4) Dane są punkty A=(1,-1),B=(3,2),C=(-1,3) oraz K=(3,-3),L=(-5,-5),M=(-1,5). Czy trójkąt ABC i trójkąt KLM są podobne?

5) Dane sa punkty A=(0,6),B=(2,0),C=(8,2). Wykaż ze trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym równoramiennym. Znajdź punkt D taki aby czworokąt ABCD był kwadratem.

6) Znajdz środek odcinka AB gdy: a) A=(-17,3), B=(7,19)

7) Napisz równanie okręgu o środku (-3,2) i promieniu \(\displaystyle{ 2 sqrt2}\)

8) Znajdź długości przekątnych rombu o wierzchołkach: (0,0); (4,2); (6,6); (2,4). Łącząc kolejno odcinkami środki boków rombu, otrzymano prostokąt . Oblicz jego pole.

9) Znajdź współrzędne środka odcinka AC i odcinka BD . Czy czworokąt ABCD jest równoległobokiem? A=(-2,-1), B=(17,2), C=(18,5), D=(-1,2)

[Proszę, zapoznaj się z Texem- Tristan]

Tristan · Post autor: **Tristan** » 18 gru 2005, o 15:09

1) Korzystasz z twierdzenia, że jeśli \(\displaystyle{ A=(x_{A}, y_{A}), B=(x_{B}, y_{B})}\) i punkt \(\displaystyle{ S=(x_{S}, y_{S})}\) jest środkiem odcinka AB, to \(\displaystyle{ x_{S}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2}, y_{S}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}}\)

No i podstawiasz i wychodzi, że B=(-7,-14).

grzes1000 · Post autor: **grzes1000** » 18 gru 2005, o 15:27

dzieki ci wielkie za to. jesli jeszce ktos moze rozwiazac jakies zadanko to smialo prosze pisac bede bardzo wdzieczny bo mi nic nie wychodzi mimo ze prubowalem

[ Dodano: Nie Gru 18, 2005 4:41 pm ]
a te drogie zadanie moze wiesz jak zrobic???

Tristan · Post autor: **Tristan** » 18 gru 2005, o 15:41

W zadaniu szóstym również korzystasz z tego wzoru, który podałem w poprzednim poście i otrzymujesz, że S=(-5,11).

W zadaniu siódmym korzystasz z twierdzenia, że równanie \(\displaystyle{ (x-a)^2+(y-b)^2=r^2}\) jest równaniem okręgu o środku w puncke S=(a,b) i promeniu r.

W takim razie po prostu podstawiasz i otrzymujesz, że równanie to ma postać \(\displaystyle{ (x+3)^2+(y-2)^2=8}\) i możesz sobie to jeszcze powymnażać i poprzenosić, wedle uznania.

grzes1000 · Post autor: **grzes1000** » 18 gru 2005, o 16:25

dziekuje ci bardzo. jakbys mogl i jesli ci sie chce to mozesz pomyslec nad reszta zadan bo ja kompletnie nie lubie tego typu zadan ale dziaeki temu co piszesz ucze sie coraz wiecej. juz to sobie zapamietam na dobre. heheheh dzieki ci wielkie i jeslli mozesz pomysl jeszcze nad reszta albo chociaz jednym zadaniem.

[ Dodano: Nie Gru 18, 2005 6:37 pm ]
2) Znajdź współrzędne punktów A,B leżących na prostej y= -x , jeśli odcinek AB ma długość , a jego środkiem jest punkt S=(2,-2).

a to zadanie wie moze ktos jak policzyc???

Comma · Post autor: **Comma** » 19 gru 2005, o 18:40

\(\displaystyle{ A=(x_a,y_a)\\B=(x_b,y_b)\\ .\\A=(x_a,-x_a)\\B=(x_b,-x_b)\\|AB|=\sqrt{(x_b-x_a)^2+(-x_b+x_a)^2}=\sqrt{2(x_b-x_a)^2}=|x_b-x_a|\cdot \sqrt{2}\\\frac{x_b+x_a}{2}=2\\x_a=4-x_b\\|x_b-x_a|\cdot \sqrt{2}=10\sqrt{2}\\|2x_b+4|\cdot \sqrt{2}=10\sqrt{2}\\x_b=7\\y_b=-7\\x_a=-3\\y_a=3}\)

Izajash · Post autor: **Izajash** » 19 gru 2005, o 19:04

co do rozwiązania tam wyżej
miałem to zadanie na lekcji (więc chyba jestem na tym samym poziomie) i pamietam żę byłyy tam dla alternatywne rozwiązania, prócz tego co jest tutaj napisane jeszcze
Xb=-3
Yb=3
Xa=7
Ya=-7
nie masz czasu teraz dokładnie przeanalizowac tego rozwiązania bo pamiętam ze liczyśmy trochę inną metodą, ale wydaje mi się żę kruczek polega na tym, ze na końcu występuje wartość bezwględnai, a co za tym idzie równanie posiada, dwa alternatywne rozwiązania

Tristan · Post autor: **Tristan** » 19 gru 2005, o 22:59

Zad.3

Korzystasz z wzoru, że jeśli \(\displaystyle{ A=(x_{A}, y_{A}), B=(x_{B}, y_{B})}\) to długość odcinka AB wyraża się wzorem \(\displaystyle{ |AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2}}\).

No i wyliczasz długości odcinków AB ( \(\displaystyle{ \sqrt{13}}\)), BC ( \(\displaystyle{ \sqrt{17}}\)) i AC ( \(\displaystyle{ 2 \sqrt{5}}\)). Teraz wyliczasz długości odcinków KL ( \(\displaystyle{ \sqrt{13}}\)), LM ( \(\displaystyle{ 2 \sqrt{5}}\)) i KM ( \(\displaystyle{ \sqrt{17}}\) ). Korzytamy z twierdzenia następującej treści: Jeżeli trzy boki jednego trójkąta są odpowiednio równe trzem bokom drugiego trójkąta, to te trójkąty są przystające.
Także odpowiedź na zadane pytanie jest pozytywna.