rzut w przestrzeni

[gzu7]

Napisz równanie rzutu prostej x=3+5t y=-1+t z=4+t na płaszczyzne 2x-2y+3z-5=0

Wiem że aby wyznaczyć rzyt tej prostep potrzebne są rzuty pkt. końców tej prostej P1 i P2
Jak więc znaleźć te punkty? Proszę o pomoc i z góry dziękuje za udzielenie wszelkich wskazówek

[Fibik]

Prosta prostopadła do płaszczyzny:
p: (x,y,z) = (2,-2,3)s + P, P(a,b,c) - dowolny punkt.

Przetniemy te proste w punkcie P, czyli P leży też na tej rzucanej prostej.
np. dla t = 0 otrzymujemy: P(3,-1,4)

nasza prostopadła wygląda teraz tak: (x,y,z) = (2,-2,3)s + (3,-1,4)

Przebijemy teraz nią tę płaszczyznę i otrzymamy pierwszy p-t A:
2(2s+3) - 2(-2s-1) + 3(3s+4) - 5 = 0
17s + 15 = 0 -> s = -15/17 -> A = -15/17(2,-2,3) + (3,-1,4)

Teraz przebijemy płaszczyznę pierwszą prostą (może trafimy), będzie p-t B:
2(3+5t) -2(-1+t) +3(4+t) - 5 = 0
11t + 15 = 0 -> t = -15/11 -> B = -15/11(5,1,1) + (3,-1,4)

Wektor: u = AB = B-A jest równoległy do szukanej prostej, która przechodzi przez p-t A.
rzutka: (x,y,z) = u*t + A

[qq]

wymyslilem prostsza metode zeby to zrobic:

mamy wektor normlany plaszczyzny i wektor kierunkowy prostej, robimy ich iloczyn wektorowy, otrzymamy wektor normalny plaszczyzny prostopadlej do pierwszej plaszczyzny.

chcemy zeby przechodzila przez prosta, wiec bierzemy dowolny punkt z prostej. piszemy rownanie plaszczyzny prostopadlej do pierwszej przechodzacej przez prosta.

i teraz rzut tej prsotej to bedzie uklad 2 plaszczyzn: pierwszej i tej drugiej obliczonej.