W prostokątnym układzie współrzędnych naszkicuj figurę F, gdzie:
\(\displaystyle{ F=\{(x,y): x \in R \wedge y \in R \wedge 3|x|+|y|\leqslant 2\}}\)
Oblicz polę figury F.
Pole figury
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Pole figury
\(\displaystyle{ |x|+|y| \le 2}\) jest kwadratem o wierzchołkach w punktach \(\displaystyle{ (-2,0),(2,0),(0,2),(0,-2)}\), skąd \(\displaystyle{ 3|x|+|y| \le 2}\) jest rombem o wierzchołkach w punktach \(\displaystyle{ (-\frac{2}{3},0),(\frac{2}{3},0),(0,2),(0,-2)}\). Pole tego rombu wynosi \(\displaystyle{ S=\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot =\frac{8}{3}}\)
Pole figury
No a skąd wiesz, że to jest równanie kwadratu rombu? Jak to przekształcić z tą wartością bezwzględną, żeby było \(\displaystyle{ y}\) po jednej stronie?
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Pole figury
\(\displaystyle{ |x|+|y|=a,a>0}\) jest równaniem brzegu kwadratu o przekątnej długości 2a, którego środkiem jest początek układu, a przekątne leżą na osiach (wynika to z własności metryki miejskiej albo po prostu z rozpisania wszystkich możliwych przypadków opuszczenia modułu przy x i y - otrzymujesz "kawałki" czterech prostych, które w sumie dają brzeg kwadratu)
\(\displaystyle{ |x|+|y| \le a,a>0}\) jest zatem równaniem kwadratu o opisanym powyżej brzegu.
Przekształcenie \(\displaystyle{ (x,y) \rightarrow (\frac{x}{3},y)}\) jest powinowactwem prostokątnym o osi pokrywajacej się z Oy i skali \(\displaystyle{ k=\frac{1}{3}}\). Obrazem opisanego wyżej kwadratu jest figura o równaniu \(\displaystyle{ |3x|+|y| \le a}\); łatwo widać, że obraz ten będzie rombem - jedna z przekątnych kwadratu skróci się trzykrotnie.
Rozpisanie wartości bezwzględnej:
\(\displaystyle{ |y| \le 2-3|x|}\)
Pierwszy przypadek: \(\displaystyle{ y<0}\) oraz \(\displaystyle{ y \ge 2-3|x|}\) ("dolna połówka" rombu) - bierzesz wszystko, co jest powyżej wykresu funkcji \(\displaystyle{ y=2-3|x|}\) i jednocześnie pod osią Ox
Dugi przypadek: \(\displaystyle{ y \ge 0}\) oraz \(\displaystyle{ y \le 2-3|x|}\) ("górna połówka" rombu) - bierzesz wszystko, co leży poniżej wykresu funkcji \(\displaystyle{ y=2-3|x|}\) i jednocześnie ponad osią Ox
\(\displaystyle{ |x|+|y| \le a,a>0}\) jest zatem równaniem kwadratu o opisanym powyżej brzegu.
Przekształcenie \(\displaystyle{ (x,y) \rightarrow (\frac{x}{3},y)}\) jest powinowactwem prostokątnym o osi pokrywajacej się z Oy i skali \(\displaystyle{ k=\frac{1}{3}}\). Obrazem opisanego wyżej kwadratu jest figura o równaniu \(\displaystyle{ |3x|+|y| \le a}\); łatwo widać, że obraz ten będzie rombem - jedna z przekątnych kwadratu skróci się trzykrotnie.
Rozpisanie wartości bezwzględnej:
\(\displaystyle{ |y| \le 2-3|x|}\)
Pierwszy przypadek: \(\displaystyle{ y<0}\) oraz \(\displaystyle{ y \ge 2-3|x|}\) ("dolna połówka" rombu) - bierzesz wszystko, co jest powyżej wykresu funkcji \(\displaystyle{ y=2-3|x|}\) i jednocześnie pod osią Ox
Dugi przypadek: \(\displaystyle{ y \ge 0}\) oraz \(\displaystyle{ y \le 2-3|x|}\) ("górna połówka" rombu) - bierzesz wszystko, co leży poniżej wykresu funkcji \(\displaystyle{ y=2-3|x|}\) i jednocześnie ponad osią Ox