Wyznaczanie równania prostej i pktów trójkąta i równoległobo

[Tomo_2]

Cześć otóż mam następujący problem: Matematyczka zadała mi do domu 3 zadania maturalne z geometrii analitycznej. Siedziałem z 2h i nic nie wymyśliłem. Proszę o pomoc;)
Zad.1 Boki AB i AC trójkąta ABC zawierają się w wykresie funkcji \(\displaystyle{ y=|x-1|}\). Prosta k przechodząca przez pkt. \(\displaystyle{ D=(-5;0)}\) zawiera bok BC trójkąta. Znajdź równanie prostej k, jeśli wiadomo, że pole trójkąta wynosi 12.
Zad.2 Przekątna BD równoległoboku ABCD zawiera się w prostej \(\displaystyle{ l: y=2x-1.}\) Wierzchołek B jest równo oddalony od obu osi układu współrzędnych i obie jego współrzędne są liczbami całkowitymi. Wierzchołek A jest obrazem pktu przecięcia się przekątnych równoległoboku w symetrii osiowej wzg. osi OY, a wierzchołki C i D są jednakowo oddalone od początku układu współrzędnych. Znajdź wsp. wszystkich wierzchołków tego równoległoboku.
Zad.3 Punkt \(\displaystyle{ S=(3;2)}\) jest środkiem ciężkości trójkąta ABC. Znajdź wierzchołki tego trójkąta, jeśli \(\displaystyle{ \vec{AB}=[9;4]}\) \(\displaystyle{ \vec{CB}=[6;-4]}\).

Szukałem w internecie jako, że to zadania maturalne, ale nic nie udało mi się wynaleźć;(
Jeśli ktoś może to niech pomoże.

[lukasz1804]

3. Niech \(\displaystyle{ A=(x_A,y_A), B=(x_B,y_B), C=(x_C,y_C)}\). Ze wzoru na współrzędne środka ciężkości mamy \(\displaystyle{ x_A+x_B+x_C=9, y_A+y_B+y_C=6}\). Ponadto z założenia mamy \(\displaystyle{ x_B-x_A=9, y_B-y_A=4}\), \(\displaystyle{ x_B-x_C=6, y_B-y_C=-4}\).
Stąd \(\displaystyle{ x_B=8}\) oraz \(\displaystyle{ y_B=2}\) i w konsekwencji \(\displaystyle{ x_A=-1, y_A=-2, x_C=2, y_C=6}\).

1. Oczywiście \(\displaystyle{ A=(1,0)}\). Ponieważ prosta BC przechodzi przez punkt D, to jej równanie jest postaci \(\displaystyle{ y=ax+5a}\) dla pewnego \(\displaystyle{ a\in\mathbb{R}}\). Zatem można założyć, że punkty B i C należą do półprostych \(\displaystyle{ y=-x+1}\) i \(\displaystyle{ y=x-1}\) odpowiednio. Stąd (rozwiązując odpowiednie układy równań) otrzymujemy łatwo

\(\displaystyle{ B=(\frac{1-5a}{a+1},\frac{6a}{a+1}),\ C=(\frac{-1-5a}{a-1},\frac{-6a}{a-1})}\).

Wystarczy teraz wyznaczyć \(\displaystyle{ a}\) korzystając z założenia i ze wzoru na pole trójkąta

\(\displaystyle{ 12=P=\frac{1}{2}|det(\vec{AB},\vec{AC})|}\).

(Dość kłopotliwy rachunek pomijam.)

[Tomo_2]

Dzięki za pomoc, ale czy ktoś jest w stanie zrobić jeszcze 1 z tych zadań?