Równanie prostych

[Asja90]

Wyznacz równanie prostych przechodzących przez początek układu współrzędnych i stycznych do okręgu o środku w punkcie \(\displaystyle{ S=(4,0)}\) i promieniu równym \(\displaystyle{ 2}\).


(gdyby ktoś potrzebował rysunek)

[anna_]

(gdyby ktoś potrzebował podpowiedzi)
https://www.matematyka.pl/75641.htm?highlight=

[JankoS]

Można tak:

Proste przechodzą przez początek układu więc mają postać \(\displaystyle{ y=mx.}\). Z warunków zadania m jest takie, że układ
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=mx\\(x-4)^2+y^2=4\end{cases}}\)
ma jedno rozwiązanie.

Są dwa rozwiązania \(\displaystyle{ y=-\frac{ \sqrt{3}}{3}x, \ y=\frac{ \sqrt{3}}{3}x.}\)

[Yakuza]

Możesz to też zrobić np korzystając z trójkąta o bokach: OS,SA,AO (gdzie A to pkt. przecięcia się prostej z okręgiem.

i po wyliczeniu boku AO, współczynnik kierunkowy prostej to będzie \(\displaystyle{ a = \tg\alpha = \frac{|\overline{SA}|}{|\overline{AO}|}}\), a b = 0 bo przechodzą przez środek układu wspł.

więc:
\(\displaystyle{ |\overline{OS}| = 4,\quad |\overline{SA}|=2\\

\\|\overline{AO}| = \sqrt{|SA|^2 + |OS|^2} \vee |\overline{AO}| = -\sqrt{|SA|^2 + |OS|^2}\\
|\overline{AO}| = 2\sqrt{3} \vee |\overline{AO}| = -2\sqrt{3}

\begin{cases}a_1 = \tg\alpha=\frac{\overline{SA}}{\overline{AO}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\\a_2 = -\tg\alpha=-\frac{\overline{SA}}{\overline{AO}}=-\frac{1}{\sqrt{3}}\end{cases}}\)

Czyli wyniki jak powyżej:
\(\displaystyle{ y_1=\frac{x}{\sqrt{3}}, y_2=-\frac{x}{\sqrt{3}}}\)