Zadanie z trójkątem równobocznym

[kolnierz]

Wierzchołki trójkąta równobocznego ABC są punktami paraboli \(\displaystyle{ y=-x^{2}+6x}\). Punkt C jest jej wierzchołkiem, a bok AB jest równoległy do osi OX. Wyznacz współrzędne wierzchołków.

Ja próbuje porównać odległości między punktami, kiedy juz oblicze wierzchołek. Punktom A i B przypisuje współrzędne (x1,y) i (x2,y), bo prosta na której leżą jest równoległa do OX ale nie chce mi dalej wyjść. Dobra droga...? a jeżeli tak to co dalej bo się zgubiłem:-)

[sea_of_tears]

zrób rysunek sobie
najpierw obliczę współrzędne wierzchołka tej paraboli, czyli punktu C :
\(\displaystyle{ x_W=\frac{-b}{2a}=\frac{-6}{-2}=3\newline
\Delta=6^2-4\cdot (-1)\cdot 0=36\newline
y_W=\frac{-\Delta}{4a}=\frac{-36}{-4}=9\newline
C(3,9)\newline}\)
jak na rysunku zaznaczysz sobie gdzieś punkt A, poprowadź prostą przechodzącą przez punkt A i C
trójkąt ABC jest równoboczny zatem wszystkie jego kąty są równe 60stopni
napisze równanie prostej przechodzącej przez punkty A i C
\(\displaystyle{ y=ax+b\newline
a=tg60^{o}=\sqrt{3}\newline
y=\sqrt3x+b\newline
9=\sqrt3 3+b\newline
b=9-3\sqrt{3}\newline
y=\sqrt{3}x+9-3\sqrt{3}}\)
punkt A jest punktem przecięcia tej prostej i paraboli zatem :
\(\displaystyle{ -x^2+6x=\sqrt{3}x+9-3\sqrt3\newline
x^2+x(\sqrt3-6)+(9-3\sqrt3)=0\newline
\Delta=(\sqrt3-6)^2-4\cdot 1\cdot (9-3\sqrt3)=3\newline
\sqrt{\Delta}=\sqrt{3}\newline
x_1=3-\sqrt3\newline
x_2=3}\)
x2 pokrywa się z punktem C zatem :
\(\displaystyle{ x=3-\sqrt3\newline
y=(3-\sqrt3)\sqrt3+9-3\sqrt3=6\newline
A(3-\sqrt3,6)\newline}\)
jeśli chodz o punkt B to ma on drugą współrzędną taką samąi wogóle ten punkt jest symetryczny do A względem prostej x=3 czyli :
\(\displaystyle{ B(3+\sqrt3,6)}\)

[Tommaso]

Mógłby mi ktoś wyjaśnić jak się liczy tren punkt B który jest symetryczne względem prostej x=3? Po prostu nie wiem jak się to liczy.