Zamiana zmiennych na współrzędne biegunowe

[wlolas]

witam,
Jeśli mam obszar, prostokąt, czyli
\(\displaystyle{ a x b , \text{oraz\ } c y d}\) to jak wowczas wygląda obszar po zamianie na współrzędne biegunowe \(\displaystyle{ y=R\sin\alpha , x=R\cos\alpha,}\) czyli \(\displaystyle{ \alpha ? R\in ?}\),
z góry dziękuje za odpowiedź,
pozdrawiam

[luka52]

Ogólnie to warto podzielić sobie taki prostokąt na trójkąty w ten sposób, że wierzchołek trójkata znajduje się w początku układu współrzędnych, a jeden z jego boków jest równoległy do osi OX lub OY (taki przykładowy trójkąt ... psfhu7.png ). Oczywiście punkt (0,0) musi leżeć wewnątrz lub przynajmniej na boku prostokąta (jeżeli nie - należy go przesunąć).
Jeżeli taki trójkat to obszar \(\displaystyle{ D = \left\{ (x,y) : a \le x \le b , \; f(x) \le y \le d \right\}}\) (funkcja f to to czerwone z wykresu). Dalej chcąc przejść do układu biegunowego możemy prosto wyznaczyć zakres zmiany kąta (z funkcji trygonometrycznych) \(\displaystyle{ \varphi \in [\varphi_1 , \varphi_2]}\). Pozostaje wyznaczyć zakres zmian promienia. Mamy

\(\displaystyle{ y \le d \iff r \sin \varphi \le d \iff r \le \tfrac{d}{\sin \varphi}}\)

(+ r>0). Czyli otrzymamy

\(\displaystyle{ D = ft\{ (r, \varphi): \varphi_1 \varphi \varphi_2, \; 0 r \frac{d}{\sin \varphi} \right\}}\).

[wlolas]

Dobry pomysł
dzięki