Matematyka.pl

Witam.
Ostatnio dostałem takie zadanie: w dowolny wielokąt foremny wpisujemy okrąg i opisujemy go okręgiem. UDOWODNIJ, że pole pierścienia utworzonego przez te okręgi dla dowolnego wielokąta foremnego wynosi \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}a^{2}}\)
Gdzie a to bok tego wielokąta.
Podpowiedź mam taką, że da się zastosować twierdzenie Pitagorasa.
Potrzebuję jasnego dowodu, a już długo się z tym męczę... Wiem, że da się to zrobić na funkcjach trygonometrycznych, ale nie mogę.

R-promień okręgu opisanego na wielokącie
r-promień okręgu wpisanego w wielokąt
P-pole pierścienia


\(\displaystyle{ P=\pi R^2- \pi r^2\\
P=\pi (R^2-r^2)}\)
Z Pitagorasa
\(\displaystyle{ ( \frac{1}{2}a)^2+r^2=R^2\\
R^2-r^2= \frac{1}{4}a^2\\}\)

\(\displaystyle{ P=\pi (R^2-r^2)=\pi \frac{1}{4}a^2= \frac{\pi}{4}a^2}\)

Co do 3 równania.
Dlaczego \(\displaystyle{ \frac{1}{2}a)^2}\) ?

Wielokąt miał być foremny, więc każdy z trójkątów musi być równoramienny.
\(\displaystyle{ r}\) jest wysokością tego trójkąta i dzieli \(\displaystyle{ a}\) na pół.

Ah, rozumiem.

W sumie dowód jest bardzo prosty.