Wyznacz współrzędne punktu C

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
Mati0s
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 23 lis 2017, o 18:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tarnów

Wyznacz współrzędne punktu C

Post autor: Mati0s »

Witam, mam problem z następującym zadaniem

W okrąg o równaniu \(\displaystyle{ (x-2)^{2}+(y-1) ^{2}=5}\) jest wpisany trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\), którego bok \(\displaystyle{ AB}\) zawarty jest w prostej o równaniu \(\displaystyle{ x-2y=0}\). Pole trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) jest równe \(\displaystyle{ 5}\). Wyznacz współrzędne punktu \(\displaystyle{ C.}\)

Wyznaczyłem środek okręgu \(\displaystyle{ (2,1)}\) oraz wzór prostej \(\displaystyle{ y=\frac{x}{2}}\).
Wiem jeszcze że współrzędne \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) to miejsca przecięcia okręgu z prostą, ale nie wiem jak je obliczyć.

Proszę o pomoc jak rozwiązać to zadanie
Ostatnio zmieniony 13 kwie 2018, o 19:23 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Wyznacz współrzędne punktu C

Post autor: Jan Kraszewski »

Mati0s pisze:Wiem jeszcze że współrzędne \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) to miejsca przecięcia okręgu z prostą, ale nie wiem jak je obliczyć.
Rozwiązać układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases}(x-2)^{2}+(y-1) ^{2}=5 \\ x-2y=0. \end{cases}}\)

JK
Mati0s
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 23 lis 2017, o 18:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tarnów

Wyznacz współrzędne punktu C

Post autor: Mati0s »

Punkt \(\displaystyle{ A}\) wyszedł \(\displaystyle{ (0,0)}\) a \(\displaystyle{ B=(4,2)}\).
tylko myślę, że te współrzędne nie są chyba potrzebne, ponieważ długość \(\displaystyle{ AB}\) jest to długość dwóch promieni czyli \(\displaystyle{ 2 \sqrt{5}}\)

Jakiś pomysł żeby wyliczyć punkt \(\displaystyle{ C}\)?
Ostatnio zmieniony 13 kwie 2018, o 20:16 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Wyznacz współrzędne punktu C

Post autor: Jan Kraszewski »

Mati0s pisze:Punkt \(\displaystyle{ A}\) wyszedł \(\displaystyle{ (0,0)}\) a \(\displaystyle{ B=(4,2)}\).
tylko myślę, że te współrzędne nie są chyba potrzebne, ponieważ długość \(\displaystyle{ AB}\) jest to długość dwóch promieni czyli \(\displaystyle{ 2 \sqrt{5}}\)
Nie twierdziłem, że są - odpowiedziałem na pytanie...
Mati0s pisze:Jakiś pomysł żeby wyliczyć punkt \(\displaystyle{ C}\)?
W tym zadaniu akurat wystarczy trochę sprytu. Jak można zauważyć, bok \(\displaystyle{ AB}\) jest średnicą okręgu. Żeby pole trójkąta wyniosło \(\displaystyle{ 5}\), jego wysokość musi wynieść dokładnie \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\), czyli wysokość musi być równa promieniowi. Jak nietrudno zauważyć, dwa punkty na okręgu będą dobre i oba leżą na prostej prostopadłej do \(\displaystyle{ AB}\) przechodzącej przez środek okręgu.

JK
Mati0s
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 23 lis 2017, o 18:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tarnów

Wyznacz współrzędne punktu C

Post autor: Mati0s »

Jan Kraszewski pisze:
W tym zadaniu akurat wystarczy trochę sprytu. Jak można zauważyć, bok \(\displaystyle{ AB}\) jest średnicą okręgu. Żeby pole trójkąta wyniosło \(\displaystyle{ 5}\), jego wysokość musi wynieść dokładnie \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\), czyli wysokość musi być równa promieniowi.
JK
Jeżeli \(\displaystyle{ AB}\) jest średnicą czyli musi ona wynosić \(\displaystyle{ 2 \sqrt{5}}\) ponieważ \(\displaystyle{ r}\) kest równe \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\). Jeśli tak to wysokość musi być równa \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{5} }{2}}\)


Jak teraz wyznaczyć punkt C?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Wyznacz współrzędne punktu C

Post autor: Jan Kraszewski »

Mati0s pisze:Jeżeli \(\displaystyle{ AB}\) jest średnicą czyli musi ona wynosić \(\displaystyle{ 2 \sqrt{5}}\) ponieważ \(\displaystyle{ r}\) kest równe \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\). Jeśli tak to wysokość musi być równa \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{5} }{2}}\)
Nieprawda. Pole to \(\displaystyle{ P=\frac12|AB|\cdot h=\frac12\cdot 2 \sqrt{5}\cdot h=\sqrt{5}\cdot h}\). Skoro \(\displaystyle{ P=5}\), to \(\displaystyle{ h= \sqrt{5}}\), czyli \(\displaystyle{ h=r}\).
Mati0s pisze:Jak teraz wyznaczyć punkt C?
No przecież Ci napisałem.
Jan Kraszewski pisze:Jak nietrudno zauważyć, dwa punkty na okręgu będą dobre i oba leżą na prostej prostopadłej do \(\displaystyle{ AB}\) przechodzącej przez środek okręgu.
Narysuj może to sobie, wyobraź...

JK
Isdre
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 32
Rejestracja: 28 gru 2021, o 17:34
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 10 razy

Re: Wyznacz współrzędne punktu C

Post autor: Isdre »

Mi wyszło \(\displaystyle{ C=(3;-1)}\) lub \(\displaystyle{ (1;3)}\) chętnie bym się przekonał czy to poprawna odpowiedź
Ostatnio zmieniony 15 sty 2022, o 12:34 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Brak LaTeXa - proszę zapoznać się z instrukcją: https://matematyka.pl/latex.htm.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Wyznacz współrzędne punktu C

Post autor: Jan Kraszewski »

Tak.

JK
ODPOWIEDZ