Równanie stycznej do elipsy

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
voxlxav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 13 sty 2022, o 13:25
Płeć: Kobieta
wiek: 19

Równanie stycznej do elipsy

Post autor: voxlxav » 13 sty 2022, o 13:28

Dana jest elipsa \(\displaystyle{ 4x^2 + 9y^2 = 36 }\) . Dobierz współczynnik m tak, by prosta \(\displaystyle{ mx–2y+5=0 }\) była do niej styczna.

Czy ktoś mógłby mi pomóc?

piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23339
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3221 razy

Re: Równanie stycznej do elipsy

Post autor: piasek101 » 13 sty 2022, o 13:32

Układ równań (z parametrem \(\displaystyle{ m}\)) - elipsa, prosta - ma mieć dokładnie jedno rozwiązanie.

voxlxav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 13 sty 2022, o 13:25
Płeć: Kobieta
wiek: 19

Re: Równanie stycznej do elipsy

Post autor: voxlxav » 13 sty 2022, o 13:51

piasek101 pisze:
13 sty 2022, o 13:32
Układ równań (z parametrem \(\displaystyle{ m}\)) - elipsa, prosta - ma mieć dokładnie jedno rozwiązanie.
A w jaki sposób zabrać się do tego układu równań? Gdyby \(\displaystyle{ x,y}\) nie były w potędze, to rozwiązałabym to Gaussem. I jeszcze: skąd dokładnie wiemy, że wystarczy tylko układ równań? To będzie układ punktu wspólnego elipsy i prostej?

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19809
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 3366 razy

Re: Równanie stycznej do elipsy

Post autor: a4karo » 13 sty 2022, o 13:54

Przecież dostajesz równanie kwadratowe

voxlxav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 13 sty 2022, o 13:25
Płeć: Kobieta
wiek: 19

Re: Równanie stycznej do elipsy

Post autor: voxlxav » 13 sty 2022, o 14:05

a4karo pisze:
13 sty 2022, o 13:54
Przecież dostajesz równanie kwadratowe
W sensie coś takiego: \(\displaystyle{ 4x^2 + 9(\frac{mx+5}{2})^2 = 36 }\) ?

Dodano po 2 minutach 19 sekundach:
Z rysunku doszłam, że \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ -1}\) się sprawdzą w miejscu \(\displaystyle{ m}\), ale nie wiem jak dojść do tego obliczeniami i, tym bardziej, jak to wytłumaczyć
Ostatnio zmieniony 13 sty 2022, o 15:55 przez AiDi, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19809
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 3366 razy

Re: Równanie stycznej do elipsy

Post autor: a4karo » 13 sty 2022, o 15:17

Dokładnie tak. Jeżeli prostą nie jest styczna, to albo równanie nie ma pierwiastków czyli prostą nie przecina się z elipsą, albo na dwa pierwiastki, czyli przecina elipsę w dwóch punktach.

piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23339
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3221 razy

Re: Równanie stycznej do elipsy

Post autor: piasek101 » 13 sty 2022, o 21:22

voxlxav pisze:
13 sty 2022, o 14:07

W sensie coś takiego: \(\displaystyle{ 4x^2 + 9(\frac{mx+5}{2})^2 = 36 }\) ?

Dodano po 2 minutach 19 sekundach:
Z rysunku doszłam, że \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ -1}\) się sprawdzą w miejscu \(\displaystyle{ m}\), ale nie wiem jak dojść do tego obliczeniami i, tym bardziej, jak to wytłumaczyć
\(\displaystyle{ 4x^2+9(0,5(mx+5))^2=36|\cdot 4}\)

\(\displaystyle{ 16x^2+9(m^2x^2+10mx+25)=36\cdot 4}\)

\(\displaystyle{ ...}\)

\(\displaystyle{ (16+9m^2)x^2+90mx+81=0}\) (aby to równanie miało jedno rozwiązanie to ma zajść \(\displaystyle{ \Delta = 0}\))

ODPOWIEDZ