objętość górnej części stożka

[asiunia909]

Ile procent objętości stożka stanowi objętość górnej jego części odciętej płaszczyzną równoległą do podstawy, przechodząca przez punkt leżący na wysokości stożka w odległośći \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) wysokości od wierzchołka?

[Sherlock]

Kod: Zaznacz cały

http://odsiebie.com

Wiemy, że mniejszy stożek ma wysokość \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) wysokości dużego stożka H. Ile wynosi promień? Korzystamy z podobieństwa trójkątów ABC i DEC - jeśli oznaczymy przez r promień podstawy dużego stożka to mały ma promień \(\displaystyle{ r_1= \frac{1}{3} r}\) bo:
\(\displaystyle{ \frac{H}{r} = \frac{ \frac{1}{3}H }{r_1}}\)
\(\displaystyle{ H r_1 = \frac{1}{3}H r}\)
\(\displaystyle{ r_1 =\frac{1}{3} r}\)

Teraz wystarczy policzyć objętości i ich stosunek

[asiunia909]

nie mam zielonego pojęcia jak to zrobić

[Sherlock]

Objętość dużego stożka
\(\displaystyle{ V_1= \frac{1}{3} \pi r^2 H}\)

Objętość małego stożka
\(\displaystyle{ V_2= \frac{1}{3} \pi ( \frac{1}{3} r)^2 \frac{1}{3}H}\)
\(\displaystyle{ V_2= \frac{1}{3} \pi \frac{1}{9} r^2 \frac{1}{3}H}\)

Policz \(\displaystyle{ \frac{V_2}{V_1}}\) i już

[asiunia909]

wyszła mi \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) czy to możliwe?

[Sherlock]

\(\displaystyle{ \frac{V_2}{V_1}= \frac{ \frac{1}{3} \pi \frac{1}{9} r^2 \frac{1}{3}H }{ \frac{1}{3} \pi r^2 H}= \frac{1}{27}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{27} 100 3,7 }\)