objętość walca

[saiyajin]

przekątne prostokąta przecinają się pod kątem \(\displaystyle{ \frac{pi}{3}}\) a jego pole jest równe \(\displaystyle{ 3cm ^{2}}\).oblicz objętość walca powstałego w wyniku obrotu tego prostokąta wokół krótszego boku .

[Sherlock]

Kod: Zaznacz cały

http://odsiebie.com

do objętości walca potrzebujemy wysokość - u nas to bok a, oraz promień podstawy - u nas to dwa razy wysokość trójkąta równobocznego: \(\displaystyle{ r= 2 \frac{a \sqrt{3} }{2}}\).

Ponieważ ab=3
\(\displaystyle{ a 2 \frac{a \sqrt{3}}{2} =3}\) to bez problemu wyliczymy a no i objętość walca

[saiyajin]

dziękuje za podpowiedz , teraz postaram się to na spokojnie rozwiązać , dziękuje

[Sherlock]

Kluczem jest fakt, że przekątne utworzyły trójkąty równoramienne o kącie w wierzchołku równym \(\displaystyle{ 60^0}\), zatem przy podstawach mamy kąty równe o mierze \(\displaystyle{ \beta = \frac{180^0-60^0}{2}=60^0}\). No a potem zabawa z trójkątami równobocznymi... Pozdrawiam

[saiyajin]

starałem się doprowadzić i podstawić do wzoru głównego na objętość , ale nie wychodzi mi wynik , czy ktoś mógłby mi pomóc , rozpisać to krok po kroku , bardzo prosze

[Sherlock]

Wzór na objętość walca

\(\displaystyle{ V=\pi r ^2 H}\)

u nas \(\displaystyle{ r=a \sqrt{3}}\) a \(\displaystyle{ H=a}\)

Wyliczamy a:
\(\displaystyle{ a^2 \sqrt{3} =3}\)
\(\displaystyle{ a^2= \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ a= \sqrt[4]{3}}\)

\(\displaystyle{ V=\pi (\sqrt[4]{3} \sqrt{3})^2 \sqrt[4]{3}}\)
\(\displaystyle{ V=\pi (\sqrt[4]{3} \sqrt{3})^2 \sqrt[4]{3}}\)
\(\displaystyle{ V=\pi (\sqrt[4]{27} )^2 \sqrt[4]{3}}\)
\(\displaystyle{ V=\pi \sqrt{27} \sqrt[4]{3}}\)
\(\displaystyle{ V=\pi 3\sqrt{3} \sqrt[4]{3}}\)
\(\displaystyle{ V=\pi 3\sqrt[4]{27}}\)