Objętość walca wpisanego w kulę

[MamaI]

Znajdź największą objętość walca wpisanego w kule o promieniu R=4m.

Z góry dziękuje za pomoc w rozwiązaniu

[arecek]

\(\displaystyle{ 2r^{2} + H^{2} = 2R^{2}}\)
\(\displaystyle{ V = H \pi r^{2}}\)

\(\displaystyle{ r^{2} = R^{2} - \frac{H^{2}}{4}}\)

\(\displaystyle{ V(H) = H \pi (R^{2} - \frac{H^{2}}{4}) = HR^{2}\pi - \frac{H^{3}\pi}{4}}\)

\(\displaystyle{ V'(H) =R^{2}\pi - \frac{3H^{2}\pi}{4}}\)

\(\displaystyle{ V'(H) = 0 H = \frac{2\sqrt{3}}{3} R}\)

Mamy Wysokość uzależnioną od promienia kuli , teraz promień walca :

\(\displaystyle{ 2r^{2} + (\frac{2\sqrt{3}}{3}R)^{2} = 2R^{2}}\)
\(\displaystyle{ r = \frac{\sqrt{6}}{3}R}\)

Dla R = 4 :
\(\displaystyle{ H = \frac{2\sqrt{3}}{3} 4 = \frac{\sqrt{3}}{6}}\)
\(\displaystyle{ r = \frac{4\sqrt{6}}{3}}\)

\(\displaystyle{ V = H \pi r^{2} = \frac{16\sqrt{3}}{9} \pi}\)

[Krukobardacha]

Wszystko dobrze do momentu Dla R = 4 : powinno być :

\(\displaystyle{ H = \frac{2\sqrt{3}}{3} 4 = \frac{8\sqrt{3}}{3}}\)

\(\displaystyle{ r ^{2} = 10\frac{2}{3}}\)

\(\displaystyle{ V = \frac{256\sqrt{3}}{9} \pi}\)