kąty z przekatną prostopadłościanu wpisanego w walec

[adacho90]

W walec wpisano prostopadłościan, którego dłuższa krawędź podstawy ma długość k. Przekątna prostopadłościanu tworzy z płaszczyzną podstawy kąt alfa, a ze ścianą boczną zawierającą dłuższą krawędź podstawy tworzy kąt beta. Wyznacz pole powierzchni bocznej walca.

[Sherlock]

Kod: Zaznacz cały

http://odsiebie.com

Pole powierzchni bocznej walca:

\(\displaystyle{ P_{pb}=2 \pi r H}\)

u nas \(\displaystyle{ r= \frac{1}{2} |DB|}\) czyli:

\(\displaystyle{ P_{pb}= \pi |DB|H}\)

Policzymy najpierw długość DB i a:

w trójkącie prostokątnym BDF: \(\displaystyle{ cos = \frac{|DB|}{|DF|}}\)
w trójkącie prostokątnym CDF: \(\displaystyle{ sin \beta= \frac{a}{|DF|}}\)

\(\displaystyle{ \frac{|DB|}{cos }= \frac{a}{sin \beta}}\)
\(\displaystyle{ |DB|sin \beta=a cos }\)

oraz w trójkącie prostokątnym ADB: \(\displaystyle{ k^2+a^2=|DB|^2}\)

Wyliczamy a i |DB|:
\(\displaystyle{ \begin{cases}|DB|sin \beta=a cos \\ k^2+a^2=|DB|^2 \end{cases}}\)

Potrzeba jeszcze H ale mając policzone |DB| policzysz wysokość z tangensa lub cotangensa kąta \(\displaystyle{ \alpha}\)