kilka zadanek

[t5]

1) Jak wyznaczyć wysokość czworościanu foremnego?? (wzor jest \(\displaystyle{ h=a \sqrt{ \frac{2}{3} }}\), ale jak do tego dojsc?)

2) Oblicz cosinus kąta miedzy sciana boczna i plaszczyzna podstawy ostroslupa prawidlowego trojkatnego jesli wiadomo ze promien okregu opisanego na podstawie, wysokosc ostroslupa i krawedz boczna tworza trojkat rownoramienny. (najlepiej jakby się udało pokazac na rysunku)

3) W ostrosłupie prawidłowym trojkatnym ABCS przez srodek ciezkosci podstawy ABC poprowadzono odcinek DE rownolegly do AB. Pole trojkata DES jest rowne P, a objetosc ostroslupa jest rowna V. Oblicz dlugosc krawedzi podstawy i wysokosc ostroslupa. (nie za bardzo wiem, jak ma wygladac ten odcinek DE)

[mol_ksiazkowy]

Quoe:

1) Jak wyznaczyć wysokość czworościanu foremnego??

z tw Pitagorasa

[t5]

\(\displaystyle{ h^{2}+...}\)(nie wiem jak wyznaczyc ta dlugosc, od spodka wysokosci do krawedzi podstawy)\(\displaystyle{ = ( \frac{a \sqrt{3} }{2}) ^{2}}\)

[mol_ksiazkowy]

\(\displaystyle{ (\frac{2}{3} \frac{a \sqrt{3}}{2}) ^2 +h^2=a^2}\)

[Sherlock]

Zad. 2

Kod: Zaznacz cały

http://odsiebie.com

Oznaczmy krawędź podstawy (bok trójkąta równobocznego) przez a.

Cosinus szukanego kąta to w trójkącie prostokątnym OED: \(\displaystyle{ cos = \frac{|OE|}{|DE|}}\)

Z treści wiemy, że boki CO, DO i CD tworzą trójkąt równoramienny. Zauważamy, że ten trójkąt jest także prostokątny - \(\displaystyle{ |CO|=|DO|}\) a to z kolei daje (korzystamy z własności trójkąta równobocznego):

\(\displaystyle{ |CO|=|DO|=H= \frac{2}{3} \frac{a \sqrt{3} }{2}= \frac{a \sqrt{3} }{3}}\)

Długość odcinka OE wynosi: \(\displaystyle{ |OE|= \frac{1}{3} \frac{a \sqrt{3} }{2} = \frac{a \sqrt{3} }{6}}\)

Z tw. Pitagorasa można policzyć długość odcinka DE i potem już tylko do wzoru na cosinus.

Zad. 3

Kod: Zaznacz cały

http://odsiebie.com

Oznaczmy krawędź podstawy (bok trójkąta równobocznego) przez a a wysokość ostrosłupa przez H (odcinek SO).

\(\displaystyle{ P= \frac{1}{2} |DE| H}\)
\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3} \frac{a^2 \sqrt{3} }{4} H}\)

Wyrazimy |DE| za pomocą a. Z podobieństwa trójkątów ABC i DEC wynika:

\(\displaystyle{ \frac{a}{h}= \frac{|DE|}{ \frac{2}{3}h }}\)
\(\displaystyle{ |DE|= \frac{2}{3}a}\)

Pozostaje rozwiązać układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} V= \frac{1}{3} \frac{a^2 \sqrt{3} }{4} H \\ P= \frac{1}{2} \frac{2}{3}a H \end{cases}}\)

[t5]

dziekuje bardzo za pomoc