Wielościany - 2 zadania

[Mikolaj9]

1.
Przekątna prawidłowego graniastosłupa czworokątnego ma długość 9 cm, a pole jego powierzchni całkowitej wynosi 144 cm ^{2}. Wyznacz długość boku postawy i krawędzi bocznej.

2.
Sześcian o krawędzi długość 4 cm przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem 45 stopni. Oblicz pole otrzymanego przekroju.

[Sherlock]

1.
Przekątna prawidłowego graniastosłupa czworokątnego ma długość 9 cm, a pole jego powierzchni całkowitej wynosi 144 cm ^{2}. Wyznacz długość boku postawy i krawędzi bocznej.

\(\displaystyle{ Pc=2a^2+4aH=144}\)

ponadto przekątna graniastosłupa, przekątna podstawy (\(\displaystyle{ a \sqrt{2}}\)) oraz wysokość H tworzą trójkąt prostokątny zatem:

\(\displaystyle{ 9^2= (a \sqrt{2})^2+H^2}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2a^2+4aH=144\\ 2a^2+H^2=81 \end{cases}}\)

[Mikolaj9]

Dzięki. Do tego momentu doszedłem, tylko tego równania nie umiem rozwiązać.

[Sherlock]

Wyznacz H z pierwszego i podstaw do drugiego. Potem podstaw pomocniczą zmienną \(\displaystyle{ t=a^2}\). Nie przestrasz się bo początkowo liczby dość wysokie

Zad. 2

Kod: Zaznacz cały

http://odsiebie.com

Pole przekroju to pole trójkąta równoramiennego ACP gdzie \(\displaystyle{ AP=CP}\) i \(\displaystyle{ AC=4 \sqrt{2}}\). Potrzebna nam jest wysokość OP tego trójkąta.

Płaszczyzna utworzyła równoramienny trójkąt prostokątny DPO gdzie DP=DO (to, że trójkąt jest równoramienny wynika z faktu że trzeci kąt ma miarę \(\displaystyle{ 180^0-90^0-45^0=45^0}\)). Z tw. Pitagorasa (albo przekątnej kwadratu o boku \(\displaystyle{ DO=DP= \frac{4 \sqrt{2} }{2} = 2 \sqrt{2}}\)) wynika, że nasze szukane \(\displaystyle{ OP=4}\)

Pole przekroju wynosi \(\displaystyle{ P= \frac{1}{2} 4 \sqrt{2} 4=8 \sqrt{2}}\)

[Mikolaj9]

Ok, dzięki

W toku zadania nawet wyszedł mi wynik, ale myślałem, że chodzi o powierzchnię ostrosłupa który z tego wyszedł. Ja skorzystałem z cosinusa.