zadania z brylami obrotowymi

[woznyadam]

1. Stozek przecieto plaszczyzna rownolegla do podstawy w \(\displaystyle{ \frac{1}{2}h}\). Ile razy V dolnej czesci jest wieksza od gornej?

3. W kule o r=8cm wpisano szescian. Oblicz roznice V tych bryl.

4. Kule przecieto plaszczyzna oddalona od srodka kuli o polowe dlugosci promienia. oblicz pole przekroju kuli.

[anna_]

1.
\(\displaystyle{ V}\)-objętość stożka
\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3} \pi r^2h}\)
\(\displaystyle{ V _{1}}\) = objetość górnej części stożka
\(\displaystyle{ V _{1} = \frac{1}{3} \pi ( \frac{1}{2} r)^2 \frac{1}{2} h\\}\)
\(\displaystyle{ V= \frac{1}{24}\pi r^2h}\)
\(\displaystyle{ V _{2}}\) - objętość dolnej części stożka
\(\displaystyle{ V _{2} =V-V _{1}\\
V _{2} =\frac{1}{3} \pi r^2h-\frac{1}{24}\pi r^2h\\
V _{2}= \frac{7}{24} \pi r^2h\\
\frac{V _{2} }{V _{1} } = \frac{\frac{7}{24} \pi r^2h}{\frac{1}{24}\pi r^2h}\\
\frac{V _{2} }{V _{1} }=7}\)

[lukki_173]

Witam
Zadanie 1
Do tego zadania to lepiej byłoby zrobić sobie taki poglądowy rysunek.

AU

2vju89z.jpg (15.25 KiB) Przejrzano 63 razy

\(\displaystyle{ \frac{x}{r} = \frac{ \frac{h}{2} }{h} x= \frac{r}{2}}\)

\(\displaystyle{ V_c= \frac{1}{3}*\pi*r^2*h}\)
Niech:
\(\displaystyle{ V_g}\) -objętość części górnej
\(\displaystyle{ V_d}\) -objętość części dolnej

Zatem:

\(\displaystyle{ V_g=\frac{1}{3}*\pi*x^2*\frac{1}{2}h=\frac{1}{24}*\pi*r^2*h}\)
\(\displaystyle{ V_d=\frac{1}{3}*\pi*r^2*h-\frac{1}{24}*\pi*r^2*h=\frac{7}{24}*\pi*r^2*h}\)
\(\displaystyle{ \frac{V_d}{V_g}= \frac{\frac{7}{24}*\pi*r^2*h}{\frac{1}{24}*\pi*r^2*h} =7}\)

Starałem się ładnie pokazać, co skąd się wzięło.
Pozdrawiam serdecznie

[anna_]

3.
Obliczam objętość kuli
\(\displaystyle{ V _{k} = \frac{4}{3} \pi r^3\\
V _{k}= \frac{4}{3} \pi 8^3\\
V _{k} = \frac{2048\pi}{3}cm^3}\)
Obliczam krawędź sześcianu
Przekątna sześcianu jest równa średnicy kuli
\(\displaystyle{ a \sqrt{3}=2r\\
a \sqrt{3}=16\\
a=\frac{16 \sqrt{3}}{3}cm}\)
Obliczam objętość sześcianu
\(\displaystyle{ V _{s} =a^3\\
V _{s} = \left(\frac{16 \sqrt{3}}{3} \right) ^3\\
V _{s} =\frac{4096 \sqrt{3}}{9} cm^3}\)
Obliczam różnicę objetości
\(\displaystyle{ V _{k}-V _{s}=\frac{2048\pi}{3}-\frac{4096 \sqrt{3}}{9}\\
V _{k}-V _{s}= \frac{2048}{9}(3\pi -2 \sqrt{3} )cm^3}\)

[ Dodano: 29 Grudnia 2008, 22:12 ]
4.
\(\displaystyle{ \leftarrow}\)kliknij
\(\displaystyle{ R}\)-promień kuli
\(\displaystyle{ r}\)-promień przekroju
Obliczam \(\displaystyle{ r}\)
\(\displaystyle{ r^2+( \frac{1}{2}R )^2=R^2\\
r^2+ \frac{1}{4}R^2=R^2\\
r^2=R^2- \frac{1}{4} R^2\\
r^2= \frac{3}{4}R^2\\
r= \frac{ \sqrt{3} }{2}R}\)
Obliczam pole przekroju
\(\displaystyle{ P=\pi r^2\\
P=\pi (\frac{ \sqrt{3} }{2}R)^2\\
P= \frac{3\pi R^2}{4}}\)