Strożek, walec, graniastosłup-zaliczenie semestru

[moro]

Witam. Z matematyki orłem nie jestem (delikatnie mówiąc) i w efekcie muszę zrobić przynajmniej dwa z poniższych zadań aby zaliczyć semestr. Posiadam treść zadań i odpowiedzi jednakże potrzebuję obliczeń, których zrobić nie potrafię.
Będę naprawdę dozgonnie wdzięczny jeśli ktoś będzie tak miły i przyjdzie mi z pomocą.

Oto zadania:
1) Stosunek pola powierzchni bocznej stożka do pola jego powierzchni całkowitej wynosi \(\displaystyle{ \frac {2}{3}}\). Wyznacz miarę kąta nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny podstawy.
Odp. \(\displaystyle{ \alpha = \frac { \pi }{3}}\)

2) Przez środek wysokości stożka poprowadzono prostą równoległą do tworzącej długości k. Oblicz długość odcinka będącego częścią wspólną prostej i stożka.
Odp. \(\displaystyle{ \frac {3}{4}k}\)

3) Pole podstawy walca jest równe \(\displaystyle{ P_{1}}\), a pole jego przekroju osiowego - \(\displaystyle{ P_{2}}\). Wyznacz pole powierzchni całkowitej tego walca.
Odp. \(\displaystyle{ Pc=2P_{1}}\)+∏\(\displaystyle{ P_{2}}\)

4) W walec wpisano sześciokątny graniastosłup prawidłowy. Wyznacz stosunek pola powierzchni bocznej walca do pola powierzchni bocznej graniastosłupa.
Odp. \(\displaystyle{ k=\frac{ \pi }{3}}\)

5) Przekątna prostokąta ma długość 30cm, a jego pole wynosi \(\displaystyle{ 432cm^{2}}\). Znajdź objętość bryły otrzymanej przez obrót tego prostokąta dookoła większego boku.
Odp. \(\displaystyle{ V=7776 \pi cm^{3}}\)

6) Oblicz długość promienia podstawy walca wiedząc, że objętość walca jest równa \(\displaystyle{ 5\pi cm^{3}}\), a pole jego powierzchni całkowitej równa się \(\displaystyle{ 13 \pi cm^{2}}\).
Odp. \(\displaystyle{ R=2cm}\) lub \(\displaystyle{ R=\frac{\sqrt{14}-2}{2} cm}\)

7) Przekrojem osiowym walca jest kwadrat, którego przekątna ma długość d. Oblicz objętość prawidłowego graniastosłupa ośmiokątnego wpisanego w ten walec.
Odp. \(\displaystyle{ V=\frac{d^{3}}{4}}\)


Z góry dziękuję za pmoc

[anna_]

Zadanie 1
Musisz sobie zrobić rysunek przekroju stożka i wprowadzić oznaczenia.
Wyznaczam zależność między l i r
\(\displaystyle{ P _{b} =\pi rl\\
P _{c} = \pi r(r+l)\\
\frac{P _{b}}{P _{c}} = \frac{2}{3} \\
\frac{\pi rl}{\pi r(r+l)}= \frac{2}{3} \\
3\pi rl=2\pi r(r+l)\\
3l=2(r+l)\\
3l=2r+2l\\
3l-2l=2r\\
l=2r}\)
Wyznaczam miarę kąta nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny podstawy
\(\displaystyle{ cos\alpha= \frac{r}{l} \\
cos\alpha= \frac{r}{2r}\\
cos\alpha= \frac{1}{2} \\
\alpha= \frac{\pi}{3}}\)
Odp: Miara kąta nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny podstawy jest równa \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}}\)

Zadanie 3.
Wyznaczam \(\displaystyle{ P _{c}}\)
\(\displaystyle{ P _{c}=2P _{p} + P _{b}\\
P _{c}=2P _{1} + 2\pi rh\\
P _{c}=2P _{1} + \pi (2rh)\\
P _{c}=2P _{1} + \pi P _{2}}\)

Zadanie 4.
\(\displaystyle{ P _{bw}}\) -powierzchnia boczna walca
\(\displaystyle{ P _{bg}}\) -powierzchnia boczna graniastosłupa
\(\displaystyle{ P _{bw}=2\pi rh}\)
Bryły mają równe wysokości.
Podstawą granistosłupa jest sześciokąt foremny wpisany w okrąg. Okrąg ten jest jednocześnie podstawą walca, więc krawędź sześciokąta będzie równy promieniowi podstawy.
\(\displaystyle{ P _{bg}=6rh}\)
Wyznaczam stosunek pola powierzchni bocznej walca do pola powierzchni bocznej graniastosłupa
\(\displaystyle{ k=\frac{P _{bw}}{P _{bg}}= \frac{2\pi rh}{6rh} \\
k= \frac{\pi}{3}}\)


Zadanie 6
Wyznaczam h

\(\displaystyle{ V=\pi R^2h\\
\pi R^2h=5\pi\\
R^2h=5\\
h= \frac{5}{R^2}}\)

Obliczam R

\(\displaystyle{ P _{c}=2\pi R(R+h)\\
2\pi R(R+h)=13\pi\\
2R(R+h)=13\\
2R^2+2Rh=13 \\
2R^2+2R \cdot \frac{5}{R^2} =13 \\
2R^2+ \frac{10}{R} =13 /\cdot R\\
2R^3+10=13R \\
2R^3-13R+10=0 \\
2R^3-8R-5R+10=0 \\
2R(R^2-4)-5(R-2)=0 \\
2R(R-2)(R+2)-5(R-2)=0 \\
(R-2)[2R(R+2)-5]=0 \\
(R-2)(2R^2+4R-5)=0 \\
R-2=0 \ lub \ (2R^2+4R-5)=0}\)
\(\displaystyle{ R=2}\)
lub
\(\displaystyle{ (2R^2+4R-5)=0\\
\Delta=4^2-4 \cdot 2 \cdot (-5)\\
\Delta=56\\
\sqrt{\Delta}=2 \sqrt{14} \\
R _{1}= \frac{-4- 2\sqrt{14} }{2 \cdot 2}\\
R _{1}= \frac{-4- 2\sqrt{14} }{4}\\
R _{1}= \frac{2(-2- \sqrt{14}) }{4}\\
R _{1}= \frac{-2- \sqrt{14} }{2} -odrzucamy \ (liczba \ ujemna)}\)
lub
\(\displaystyle{ R _{2}= \frac{-2+ \sqrt{14} }{2}}\)

\(\displaystyle{ R=2cm \ lub \ R=\frac{ \sqrt{14}-2 }{2}cm}\)


Zadanie 7


Wyznaczam wysokość i promień podstawy
\(\displaystyle{ h=2r}\)
Z twierdzenia Pitagorasa:
\(\displaystyle{ h^2+(2r)^2=d^2\\
(2r)^2+(2r)^2=d^2\\
4r^2+4r^2=d^2\\
8r^2=d^2\\
r^2= \frac{d^2}{8}\\
r= \sqrt{\frac{d^2}{8}} \\
r= \frac{d}{2 \sqrt{2} }\\
r= \frac{d \sqrt{2} }{4} \\
h=2r=2 \cdot \frac{d \sqrt{2} }{4}= \frac{d \sqrt{2} }{2}}\)
Obliczam pole podstawy graniastosłupa
\(\displaystyle{ | \sphericalangle AOB|=360^o:8=45^o\\
P _{p} =8 \cdot \frac{r^2sin45^o}{2} \\
P _{p} =4r^2sin45^o\\
P _{p}=4 \cdot (\frac{d \sqrt{2} }{4})^2 \cdot \frac{ \sqrt{2} }{2}\\
P _{p}=4 \cdot \frac{2d^2}{16} \cdot \frac{ \sqrt{2} }{2} \\
P _{p} = \frac{d^2 \sqrt{2} }{4}}\)
Obliczam V
\(\displaystyle{ V=P _{p} \cdot h\\
V=\frac{d^2 \sqrt{2} }{4} \cdot \frac{d \sqrt{2} }{2}\\
V= \frac{2d^3}{8}\\
V= \frac{d^3}{4}}\)

[Justka]

Zadanie 5

\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2+b^2=30^2 \\ ab=432 \end{cases}}\)
Rozwiązujemy ten układ aby otrzymać długości boków prostokąta a,b.

\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2+b^2=900 \\ a=\frac{432}{b} \end{cases} \\
(\frac{432}{b})^2+b^2=900 |\cdot b^2 \\
b^4-900b^2+432^2=0 \\
t=b^2, \ t>0}\)
Więc
\(\displaystyle{ t^2-900t+432^2=0 \ \ \sqrt{\Delta}=252 \iff t=324 t=576}\)

rozwiązaniem naszego układu sa liczby:
\(\displaystyle{ t=b^2 \iff b=\sqrt{t} b=\sqrt{324}=18 b=\sqrt{576}=24}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ \begin{cases} b=24 \\ a=\frac{432}{b}=18 \end{cases}}\)
(lub odwrotnie a=24 i b=18 )

Obracając ten prostokąt wokół większego boku otrzymamy walec o wysokości H=b=24 oraz promieniu podstawy \(\displaystyle{ r=a=18}\), zatem:
\(\displaystyle{ V=\pi r^2H V=\pi\cdot 18^2 24=7776\pi}\)

[Sherlock]

Zadanie 2.

Przekrojem stożka jest poniższy trójkąt równoramienny ABC. Podstawą trójkąta (|AB|) jest średnica podstawy stożka, u nas jej długość oznaczymy jako a. Wysokość stożka to także wysokość tego trójkąta (|FC|=h).

Kod: Zaznacz cały

http://odsiebie.com

Należy policzyć długość odcinka DE.

Trójkąty prostokątne BCF i DGF są podobne, zatem:

\(\displaystyle{ \frac{|FB|}{|FC|} = \frac{|FD|}{ |FG|}}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \frac{a}{2} }{h} = \frac{|FD|}{ \frac{h}{2} }}\)
\(\displaystyle{ |FD|=\frac{a}{4}}\)

Długość odcinka: \(\displaystyle{ |AD|=|AF|+|FD|= \frac{a}{2}+ \frac{a}{4}= \frac{3}{4}a}\)

Trójkąty ABC i ADE są podobne:

\(\displaystyle{ \frac{|BC|}{|AB|}= \frac{|DE|}{|AD|}}\)
\(\displaystyle{ \frac{k}{a} = \frac{|DE|}{ \frac{3}{4}a}}\)
\(\displaystyle{ a|DE|=k\frac{3}{4}a}\)
\(\displaystyle{ |DE|=\frac{3}{4}k}\)

[moro]

Wielkie dzieki za odpowiedzi.
Kolejny raz ratujecie mi życie
Zadań jest więcej niż potrzebowałem to komuś jeszcze się przydadzą.

Normalnie kocham to forum

[agnieszkamy]

skąd w zadaniu 6 przy wyznaczaniu h wzięło się 5 \(\displaystyle{ \pi}\)
oraz w oblicznaiu R (druga linijka) 13 \(\displaystyle{ \pi}\) ?

czy mogę prosić o wykonanie rysunku do zadania 2?

[?ntegral]

agnieszkamy, to są dane z zadania.

[Sherlock]

agnieszkamy, poniżej rysunek do zadania nr 2

[agnieszkamy]

dziękuje i następnym razem postaram sie czytać treść zadania ze zrozumieniem;)