Długość krawędzi podstawy graniastosłupa prawidłowego

kiero · Post autor: **kiero** » 12 gru 2008, o 00:34

Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego wynosi 108, a wysokość podstawy, krawędź podstawy i wysokość graniastosłupa tworzą ciąg geometryczny. Oblicz długość krawędzi podstawy. Mógłby ktoś pomóc?

anna_ · Post autor: **anna_** » 12 gru 2008, o 01:12

h-wysokość podstawy
a-krawędź podstawy
H-wysokość ostrosłupa
\(\displaystyle{ h \\
a=hq \\
H=hq^2 \\
V= P _{p} H \\
V= \frac{ah}{2} H \\
V= \frac{hq h}{2} hq^2 \\
V= \frac{h^3q^3}{2}\\
V= \frac{(hq)^3}{2} \\
\frac{(hq)^3} {2}=108 \\
(hq)^3} =216 \\
hq= \sqrt[3]{216} \\
hq=6 \\
hq=a=6}\)

florek177 · Post autor: **florek177** » 12 gru 2008, o 10:15

Błąd w założeniu. Zależność między a i h w trójkącie równobocznym wyznacza nam \(\displaystyle{ q \,\,\}\) cg.

\(\displaystyle{ a = \frac{2 \, \sqrt{3}}{3} \, h \,\,\}\) --> \(\displaystyle{ \,\,\ q =\frac{\frac{2 \, \sqrt{3}}{3} h}{h} \,\,\}\) --> \(\displaystyle{ H = a \cdot q = {\frac{2 \, \sqrt{3}}{3} \, h} \cdot {\frac{2 \, \sqrt{3}}{3}} = \frac{4}{3} \, h \,\,\,}\) --> \(\displaystyle{ V = \frac{1}{2} \, a \, h \, H = 108}\)

Wyznaczamy h i a

anna_ · Post autor: **anna_** » 12 gru 2008, o 13:12

Faktycznie, mój błąd.
Florek, mam prośbę. Mógłbyś zajrzeć tutaj:
https://matematyka.pl/96512.htm#354746
?

florek177 · Post autor: **florek177** » 12 gru 2008, o 19:13

widziałem.
Podobne jest zadanie związane z podwojeniem sześcianu - zadanie "delijskie": \(\displaystyle{ x^{3} = a^{3} 2 \,\,\}\) , czyli \(\displaystyle{ x = a \sqrt[3]{2} \,\}\).

Platon rozwiązał to przy pomocy "krzyżaka" - dwie tyczki, ale ustawione pod kątem prostym..

dłuższy odcinek ma długość - licząc od podstawy studni - ( x + 2a ), krótszy - ( y + a)
Bok sześcianu o objętości 2 razy większej od danego sprowadza się do wyznaczenia podwójnej średniej proporcjonalnej.

ale jak zastosować to do tego zadanie - na razie nie wiem.

Jeżeli przyjąć szerokość studni ( x + y ) to wyszedł mi układ równań:

\(\displaystyle{ ( x + y )^{2} = y^{2} \, (x + y )^{2} = 4 \, y^2}\)

\(\displaystyle{ ( x + y )^{2} = x^{2} \, (x + y )^{2} = 9 \, x^2}\)

Ps. moje x, y nie ma nic wspólnego z x, y u Platona

anna_ · Post autor: **anna_** » 12 gru 2008, o 20:38

W każdym razie dzięki za zainteresowanie.

aguś_000 · Post autor: **aguś_000** » 23 lut 2009, o 15:51

Podstawą graniastosłupa prostego jest romb. Przekątne graniastosłupa mają 7 cm i 1 dm, a wysokość 4 cm. Oblicz długość krawędzi podstawy.