Witam.
Czy istnieje taki czworościan, w którym co najmniej jedna ściana jest trójkątem rozwartokątnym, a środek sfery opisanej na tym czworościanie leży w jego wnętrzu?
Prosiłbym tak "łopatologicznie i obrazowo", bo niestety moja wyobraźnia do stereo jest marna...
Taki mój zaczątek: Niech jedną ze ścian tego czworościanu będzie trójkąt ABC, gdzie kąt przy wierzchołku A jest rozwarty. Środek okręgu opisanego na tym trójkącie leży oczywiście (? ) poza nim oraz ten okrąg należy do szukanej sfery. Teraz problem tylko z kolejnym i ostatnim już punktem D takim, że czworościan ABCD spełnia warunki zadania (tak, jestem na 99,99% pewny, że taki czworościan istnieje, ale problem jest z dowodem :/ ).
Z góry dziękuję za pomoc.
Czworościan. sfera [II OMG]
-
florek177
- Użytkownik
- Posty: 3018
- Rejestracja: 23 mar 2005, o 10:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdynia
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 322 razy
Czworościan. sfera [II OMG]
1. czworościan musi być pochyły.
2. Oznaczenia:
a. trójkąt ABC - AC - najdłuższy bok. na przeciw kąta rozwartego; BD - środkowa boku AC; O - środek sfery; R - promień sfery; ( r ; Hs ) - promień i wysokość stożka opisanego na podstawie czworościanu ; H - wysokość czworościanu; hs - wysokość ściany bocznej opartej na AC; k - trzecia ( najdłuższa ) krawędź; OB = R; OD = d.
\(\displaystyle{ \frac{r}{R} = cos(\alpha) \,\,}\) ; \(\displaystyle{ \frac{2r}{k} = cos(\beta) \,\,}\) ; --> \(\displaystyle{ \alpha < \beta \,\,\}\) --> \(\displaystyle{ cos(\alpha) > cos(\beta) \,\,\}\) i \(\displaystyle{ \,\ k < 2R}\);
oraz:
\(\displaystyle{ \frac{ H_{s} - R }{d} = sin(\delta)\,\,\}\) ; \(\displaystyle{ \frac{ H }{h_{s}} = sin(\gamma)\,\,\}\) ; --> \(\displaystyle{ \gamma < \delta \,\,}\) --> \(\displaystyle{ sin(\gamma) < sin(\delta)}\);
Te warunki dotyczą, gdy podstawa czworościanu i wierzchołek są po przeciwnych stronach środka sfery.
teraz trzeba by było przyjąć jakieś wielkości i określić warunki np. względem R. Wymiary trójkąta - podstawy - też ma znaczenie - środkowa BD.
Teraz możesz kombinować.
2. Oznaczenia:
a. trójkąt ABC - AC - najdłuższy bok. na przeciw kąta rozwartego; BD - środkowa boku AC; O - środek sfery; R - promień sfery; ( r ; Hs ) - promień i wysokość stożka opisanego na podstawie czworościanu ; H - wysokość czworościanu; hs - wysokość ściany bocznej opartej na AC; k - trzecia ( najdłuższa ) krawędź; OB = R; OD = d.
\(\displaystyle{ \frac{r}{R} = cos(\alpha) \,\,}\) ; \(\displaystyle{ \frac{2r}{k} = cos(\beta) \,\,}\) ; --> \(\displaystyle{ \alpha < \beta \,\,\}\) --> \(\displaystyle{ cos(\alpha) > cos(\beta) \,\,\}\) i \(\displaystyle{ \,\ k < 2R}\);
oraz:
\(\displaystyle{ \frac{ H_{s} - R }{d} = sin(\delta)\,\,\}\) ; \(\displaystyle{ \frac{ H }{h_{s}} = sin(\gamma)\,\,\}\) ; --> \(\displaystyle{ \gamma < \delta \,\,}\) --> \(\displaystyle{ sin(\gamma) < sin(\delta)}\);
Te warunki dotyczą, gdy podstawa czworościanu i wierzchołek są po przeciwnych stronach środka sfery.
teraz trzeba by było przyjąć jakieś wielkości i określić warunki np. względem R. Wymiary trójkąta - podstawy - też ma znaczenie - środkowa BD.
Teraz możesz kombinować.
Ostatnio zmieniony 10 gru 2008, o 21:43 przez florek177, łącznie zmieniany 1 raz.
-
patry93
- Użytkownik
- Posty: 1251
- Rejestracja: 30 sty 2007, o 20:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Koziegłówki/Wrocław
- Podziękował: 352 razy
- Pomógł: 33 razy
Czworościan. sfera [II OMG]
Hm....
Tak, też pomyślałem o tym, że musi być pochyły i prawdopodobnie w stronę środka okręgu opisanego na trójkącie ABC, lecz jak bardzo... ? Niewiem... :/
[ Dodano: 24 Grudnia 2008, 21:29 ]
Hm.... kurczę, niewątpliwie można to wszystko rozstrzygnąć za pomocą tych równań i nierówności, które napisałeś, ale to w końcu OMG.... na pewno istnieje bardzo elementarne rozwiązanie.... :/
Tak, też pomyślałem o tym, że musi być pochyły i prawdopodobnie w stronę środka okręgu opisanego na trójkącie ABC, lecz jak bardzo... ? Niewiem... :/
[ Dodano: 24 Grudnia 2008, 21:29 ]
Hm.... kurczę, niewątpliwie można to wszystko rozstrzygnąć za pomocą tych równań i nierówności, które napisałeś, ale to w końcu OMG.... na pewno istnieje bardzo elementarne rozwiązanie.... :/